| Примеры решения задач Пример 7. Прямоугольный треугольник лежит в плоскости xOy. Модуль индукции магнитного поля, перпендикулярного этой плоскости, изменяется по закону , где Тл·м–1. Найти поток вектора через этот треугольник, если а = 8 см, b = 10 см, c = 10 см (Рис. 4.7).

Решение. Выделим в треугольнике элементарную площадку dS высотой h, шириной dx, находящуюся на рас стоянии x от начала координат. Магнитный поток d Φ, пронизывающий эту площадку, равен .

Так как в выделенной области модуль индукции магнитного поля , а площадь , то

. (4.24)

Высоту h выразим через переменную x, воспользовавшись соотношением подобия:

, откуда .

Тогда выражение (4.24) примет вид

.

Проинтегрировав это выражение по переменной x в пределах от а до а+b, найдем магнитный поток Φ, пронизывающий весь треугольник:

.

Проведем вычисления: (Вб).

Пример 8. Катушка, содержащая 200 витков, сечением 50 см2 равномерно вращается в однородном магнитном поле индукцией 0,5 Тл с частотой 20 Гц. В начальный момент времени ось катушки параллельна силовым линиям поля. Найти зависимость ЭДС как функцию времени и мгновенное значение ЭДС, соответствующее повороту катушки на угол 300.

Решение. Мгновенное значение ЭДС индукции определяется из закона Фарадея:

, (4.25)

где Ψ - полный магнитный поток (потокосцепление), равный

, (4.26)

где N - число витков, B - модуль вектора индукции магнитного поля, S – площадь сечения витков, φ – угол между нормалью к площади витков и вектором индукции .

При равномерном вращении катушки в магнитном поле угол φ зависит от времени t по закону:

,

где учтено, что угловая скорость катушки связана с частотой ее вращения как , а согласно начальным условиям . Тогда, принимая во внимание (4.26), зависимость от времени t полного магнитного потока Ψ имеет вид

.

Продифференцировав это выражение по t, согласно (4.25) получим зависимость ЭДС как функцию времени:

.

Величина (модуль) мгновенного значения ЭДС индукции, соответствующего повороту катушки на угол 300, равна

(В).

Пример 9. Металлический стержень длиной ℓ = 50 см движется поступательно параллельно прямолинейному проводнику с током I = 10 А со скоростью = 20 см/с (Рис. 4.8). Ближайший конец стержня находится на расстоянии а = 0,25 м от проводника. Вычислить ЭДС индукции, наведенную в стержне.

Решение. Выделим в стержне элемент длиной , находящийся на расстоянии от проводника. Модуль вектора магнитной индукции поля, создаваемого бесконечным прямым током I на расстоянии от него равен

. (4.27)

При движении стержня со скоростью в элементе стержня будет возбуждаться электродвижущая сила индукции d εi:

. (4.28)

Проинтегрировав (4.28) по переменной x в пределах от а до а+ℓ, найдем ЭДС индукции, возбуждаемую в стержне:

.

Проведем вычисления:

(В).

Пример 10. Какую площадь сечения должен иметь длинный соленоид с железным сердечником, чтобы при токе силой I = 0,2 А энергия магнитного поля в нем была W = 0,3 Дж. Длина соленоида ℓ = 50 см, его обмотка имеет N = 4000 витков.

Решение. Индуктивность L длинного соленоида

,

где – магнитная проницаемость железа, N – число витков обмотки соленоида, S и ℓ – его площадь сечения и длина соответственно. Тогда площадь сечения S соленоида

. (4.28)

Индуктивность L найдем из формулы энергии магнитного поля тока соленоида :

. (4.29)

Так как магнитная проницаемость ферромагнетиков, к которым относится железо, не является постоянной величиной, а зависит от величины напряженности H магнитного поля, то ее значения найдем из следующего соотношения:

, (4.30)

где B1 и H1 – значения магнитной индукции и напряженности соответственно магнитного поля в железе, являющиеся координатами какой-либо точки на основной кривой намагничивания B(H) для железа (рис. 4.9).

Подставив выражения (4.29) и (4.30) в формулу (4.28), получим:

. (4.31)

Из теоремы о циркуляции вектора следует, что величина напряженности H магнитного поля внутри длинного соленоида определяется силой тока I в его обмотке:

,

то при силе тока I1 = 0,2 А величина напряженности H1 магнитного поля равна

(А/м).

По графику основной кривой намагничивания B(H) для железа (см. рис. 4.9) по известному значению H1 находим соответствующее ему значение индукции B1:

B1 = 1,42 Тл.

Подставляя найденные значения H1 и B1, а также данные задачи в выражение (4.31), вычислим площадь сечения катушки

(м2).

Пример 11. Плоский квадратный контур со стороной a = 10 см, по которому течет ток I = 100 A, свободно установился в однородном магнитном поле индукцией B = 1 Тл. Определить минимальную работу A, совершаемую внешними силами при повороте контура относительно оси, проходящей через середины его противоположных сторон, на угол: 1) ; 2) . При повороте контура сила тока в нем поддерживается неизменной.

Решение. Как известно, на контур с током в магнитном поле действует вращающий момент сил Ампера (Рис. 4.10), модуль которого равен

, (4.32)

где - модуль вектора магнитного момента контура с током I, который ограничивает площадь ; - модуль вектора магнитной индукции; - угол между векторами (направлен по нормали к контуру) и .

По условию задачи в начальном положении контур свободно установился в магнитном поле, т.е. векторы и сонаправлены, значит, . При этом вращающий момент амперовых сил (4.32) равен нулю M0 = 0. Если внешние силы выведут контур из положения равновесия, то возникший момент сил будет стремиться возвратить контур в исходное положение. Этот момент сил должен быть скомпенсирован моментом внешних сил , работу которых надо найти. Поскольку искомая работа минимальна, то . Тогда с учетом (4.32) модуль момента внешних сил равен

. (4.33)

Так как момент сил переменный (зависит от угла поворота ), то для вычисления работы применим формулу работы в дифференциальной форме . Учитывая формулу (4.33), получаем

.

Проинтегрировав это выражение по переменной φ в пределах от φнач до φкон, найдем минимальную работу, совершаемую внешними силами при повороте на конечный угол Δφ = φкон – φнач :

. (4.34)

Работа Авнш1, совершаемая внешними силами при повороте на угол от 0 до :

. (4.35)

Проведем вычисления:

(Дж).

При вычислении работы Авнш2, совершаемой внешними силами при повороте на угол от 0 до , учтем, что угол мал, и заменим в выражении (4.34) , где [] = рад:

. (4.36)

Выразим угол в радианах: и вычислим Авнш2:

(Дж).

Эту задачу можно решить и другими способами:

1. Работа Авнш внешних сил по перемещению контура с током в магнитном поле совершается против работы сил Ампера и поэтому равна произведению силы тока I в контуре на убыль магнитного потока (–ΔΦ) через поверхность, ограниченную этим контуром:

,

где - магнитный поток через поверхность, ограниченную контуром до его перемещения; - после перемещения.

При вычислении работы Авнш1, совершаемой внешними силами при повороте на угол от φнач = 0 до значения магнитных потоков:

и .

Следовательно,

,

что совпадает с (4.35).

При вычислении работы Авнш2, совершаемой внешними силами при повороте на угол от 0 до малого угла рад будем иметь:

,

что совпадает с (4.36).

2. Работа Авнш внешних сил по перемещению контура с током в магнитном поле равна приращению механической потенциальной энергии этого контура:

,

где – механическая потенциальная энергия контура с током I в магнитном поле индукцией ; – вектор магнитного момента плоского контура с током I, который ограничивает площадь S; – единичный вектор нормали к контуру, направление которого связано с направлением тока в контуре правилом правого винта; φ – угол между векторами и . Учитывая, что S = a2, получаем:

,

что совпадает с (4.34).

Пример 12. Квадратная проволочная рамка со стороной a = 5 см и сопротивлением R = 10 мОм находится в однородном магнитном поле индукцией B = 40 мТл. Нормаль к плоскости рамки составляет угол φ = 300 с линиями магнитной индукции. Определить заряд q, который пройдет по рамке при выключении магнитного поля.

Решение. При выключении магнитного поля произойдет изменение магнитного потока Φ через поверхность, ограниченную проволочной рамкой. Вследствие этого в рамке возникает ЭДС индукции εi, определяемая основным законом электромагнитной индукции:

. (4.37)

Возникшая ЭДС индукции вызовет в рамке индукционный ток, мгновенное значение Ii которого по закону Ома для замкнутой цепи равно

, (4.38)

где - сопротивление рамки.

С другой стороны, согласно определению силы тока:

. (4.39)

Из уравнений (4.38) и (4.39) выразим εi:

и подставим найденное выражение в закон (4.37):

,

откуда .

Проинтегрировав это выражение

,

получим

, (4.40)

где - магнитный поток через поверхность, ограниченную контуром до выключения магнитного поля; - после выключения.

Магнитный поток Φ через плоскую поверхность площадью S, находящуюся в однородном магнитном поле индукцией B, равен:

,

где φ – угол между положительной нормалью к поверхности и вектором магнитной индукции . Учитывая, что S = a2, получаем:

.

В начальном состоянии φнач = φ и, учитывая, что S = a2, получаем:

. (4.41)

В конечном состоянии после выключения магнитного поля В = 0, тогда

. (4.42)

Подставляя (4.41) и (4.42) в (4.40), найдем заряд q, который пройдет по рамке:

.

Убедимся в том, что правая часть этого равенства дает единицу заряда (Кл):

.

Проведем вычисления:

(Кл).

Пример 13. В электрической цепи, состоящей из резистора сопротивлением R = 20 Ом и катушки индуктивностью L = 0,06 Гн, протекает ток I0 = 20 А. Определить силу тока в этой цепи через t1 = 0,2 мс после ее размыкания.

Решение. Сила тока I в электрической цепи при отключении источника тока убывает экспоненциально со временем t и выражается формулой

,

где - сила тока до отключения источника; - сопротивление цепи; - индуктивность цепи.

Величина тока в момент t1 равна

(А).

| © Кафедра физики БГУИР |