| Примеры решения задач Пример 7. Найти электроемкость сферического конденсатора с радиуса ми обкладок , и , который заполнен изотропным диэлектриком с проницаемостью, изменяющейся по закону , где - постоянная, - расстояние от центра конденсатора. Решение. Электроемкость С конденсатора равна отношению его заряда q к напряжению U между обкладками этого конденсатора:

. (3.35)

Напряжение U между обкладками конденсатора равно разности потенциалов между ними, связанной с напряженностью электростатического поля так:

, (3.36)

где φ+ – потенциал положительно заряженной обкладки радиусом R1; φ– – потенциал отрицательно заряженной обкладки радиусом R2; Е r – проекция вектора напряженности электростатического поля между обкладками на ось Or, начало которой находится в центре конденсатора (точка О).

Зависимость Е r от расстояния r до центра конденсатора определим с помощью теоремы Гаусса:

,

где r – радиус сферической гауссовой поверхности, находящейся между обкладками с центром в точке О; q – заряд обкладки, охваченной этой гауссовой поверхностью; – диэлектрическая проницаемость точек, лежащих на гауссовой поверхности. Тогда

.

Подставим найденную зависимость в выражение (3.36) и вычислим интеграл:

. (3.37)

Подставляя (3.37) в (3.35), находим электроемкость С конденсатора

.

Пример 8.

В плоском воздушном конденсаторе пластины находятся на расстоянии x1 = 0,02 м. Определить минимальную работу внешней силы, которой необходимо совершить для раздвижения пластин до x2 = 0,04 м, если к ним приложена разность потенциалов U = 500 В и пластины все время подключены к источнику тока. Площадь каждой пластины S = 0,01 м2.

Решение. Пусть на одной пластине конденсатора находится заряд q. Заряд этой пластины конденсатора находится в поле напряженностью , созданном зарядом другой пластины конденсатора. Следовательно, на первый заряд действует электростатическая сила, модуль которой равен:

, (3.38)

где учтено, что величина заряда каждой пластины , σ – поверхностная плотность заряда пластин, – модуль вектора напряженности поля второй пластины.

Модуль напряженности поля в любой точке между пластинами можно выразить с одной стороны, через поверхностную плотность σ заряда каждой пластины, а также через напряжение U между ними:

, и ,

где x – расстояние между пластинами. Из этих равенств получим следующее:

. (3.39)

С учетом (3.39) выражение (3.38) примет вид

. (3.40)

При совершении минимальной работы внешней силой по раздвижению пластин ее величина должна быть равна модулю электростатической силы (3.40):

. (3.41)

Элементарная работа δА внешней силы , действующей на одну обкладку, при ее малом перемещении dx в направлении действия этой силы относительно другой обкладки равна:

, (3.42)

где учтено выражение (3.41).

Интегрируя выражение (3.42) по переменной x от x1 до x2, найдем минимальную работу внешней силы А, затраченную на раздвижение пластин:

. (3.43)

Проверим размерности правой и левой части в формуле:

Дж = Ф · м –1 · м2 · В2 · м –1 = Ф · В2 = Кл · В –1 · В2 = Кл · В = Дж

Размерности правой и левой частей совпадают.

Произведем вычисления:

.

Пример 9.

Батарею из двух последовательно соединенных конденсаторов, электроемкости которых C1 = 4 мкФ и С2 = 6 мкФ, зарядили до разности потенциалов U = 2000 В и отключили от источника напряжения. Найти количество энергии, выделившейся при их соединении параллельно одноименно заряженными обкладками?

Решение. Обозначим через W1 энергию батареи при последовательном соединении конденсаторов, а через W2 при их параллельном соединении. Количество энергии Q, выделившейся в батареи в результате переключения конденсаторов:

. (3.44)

Энергия W1 конденсаторов при их последовательном соединении:

,

где Спос - электроемкость батареи при последовательном соединении конденсаторов С1 и С2, равная:

.

Тогда

. (3.45)

В случае последовательного соединения конденсаторов их заряды q1 и q2 одинаковы и равны:

. (3.46)

При соединении конденсаторов одноименными обкладками происходит перераспределение зарядов, в результате которого на конденсаторах устанавливается одинаковое напряжение Uпар (параллельное соединение). Тогда

, (3.47)

где - электроемкость батареи при параллельном соединении конденсаторов С1 и С2.

В соответствии с законом сохранения заряда (конденсаторы отключены от источника напряжения) алгебраическая сумма зарядов системы не изменяется:

, (3.48)

где и – заряды соответственно первого и второго конденсаторов после их соединения параллельно.

Выразим эти заряды через их электроемкости и напряжения:

и

и подставим их в (3.48) с учетом (3.46):

,

откуда

. (3.49)

Подставим вражение (3.49) в (3.47) и найдем энергию W2:

(3.50)

Для определения количества энергии Q, выделившейся в батареи в результате переключения конденсаторов, необходимо выражения (3.45) и (3.50) подставить в (3.44). В результате этого:

.

Произведем вычисление:

=0,192 (Дж).

Пример 10.

Зазор между пластинами плоского конденсатора заполнен неоднородной слабо проводящей средой, удельная проводимость которой изменяется в направлении, перпендикулярном к пластинам по линейному закону от σ1 = 1,0·10–12 См/м до σ2 = 2,0·10–12 См/м. Площадь каждой пластины S = 230 см2. Расстояние между пластинами h = 2,0 мм. Найти ток через конденсатор при напряжении на нем U = 300 В.

Решение. Выделим в проводящей среде узкий слой dx, находящийся на расстоянии x от одной из пластин конденсатора. Сопротивление этого слоя:

, (3.51)

где удельное сопротивление ρ среды этого слоя связано с его проводимостью σ как:

.

Проводимость среды линейно зависит от расстояния x:

. (3.52)

Так как при значение , а при значение , то из (3.52) коэффициенты а и b равны:

.

Тогда зависимость σ(x) принимает вид:

. (3.53)

С учетом (3.53) выражение (3.51) можно представить:

(3.54)

Полное сопротивление R среды между обкладками конденсатора получим интегрированием выражения (3.54) по переменной x от 0 h:

. (3.55)

Ток через конденсатор найдем, воспользовавшись законом Ома:

. (3.56)

Произведем вычисления:

(A).

Пример 11.

Длинный проводник крупного сечения радиусом R сделан из материала, удельное сопротивление которого зависит только от расстояния r до оси проводника , где C - постоянная. По проводнику течет ток I. Найти напряженность поля Е в проводнике и сопротивление единицы длины проводника.

Решение. Следует обратить внимание, что модуль напряженности Е электрического поля одинаков во всех точках данного сечения этого проводника. Выделим в некотором поперечном сечении проводника тонкий кольцевой слой, заключенный между радиусами и . Величина тока dI, проходящего по этому слою:

, (3.57)

где j – плотность тока в точках выделенного кольца; – площадь выделенного кольцевого слоя.

По закону Ома в дифференциальной форме

,

т огда (3.57) с учетом заданной зависимости удельного сопротивления среды примет вид:

. (3.58)

Силу тока I, проходящего через поперечное сечение проводника радиусом R получим интегрированием выражения (3.58) по переменной r от 0 до R:

, (3.59)

откуда модуль напряженности Е электрического поля в проводнике составляет:

. (3.60)

По закону Ома сопротивление проводника , а единицы длины проводника:

, (3.61)

где ℓ – длина всего проводника, к концам которого приложено напряжение U, связанное в данном случае с напряженностью как .

Подставляя (3.60) в (3.61), получаем

.

Пример 12.

Какой заряд пройдет по проводнику, если в течение τ = 10,0 с сила тока уменьшились от I0 = 10,0 A до I1 = 5,0 А. Уменьшение силы тока связано с изменением сопротивления цепи, которое равномерно возрастало в течение указанного промежутка времени. Разность потенциалов U, приложенная к цепи, поддерживалась постоянной.

Решение. В данной задаче сопротивление цепи R является линейной функцией времени t:

, (3.62)

где R0 - начальное сопротивление цепи, k - постоянная величи на, выражающая скорость изменения сопротивления. Выразим зависимость силы то ка I(t) по закону Ома:

. (3.63)

Заряд dq, прошедший в цепи за время dt:

. (3.64)

Полный заряд q, прошедший через поперечное сечение проводника за время τ, выразится интегралом

. (3.65)

Так как , а , (3.66)

то . (3.67)

Подставляя (3.66) и (3.67) в формулу (3.65), получим

.

Произведем вычисления: (Кл).

Пример 13.

По медным проводам общей длиной ℓ = 10 км надо передать электрическую энергию так, чтобы потери на джоулево тепло в проводящих провод a х не должны превышать 3 % передаваемой от источника энергии. Какое количество меди потребуется на подводящие провода, если энергия будет передаваться при напряжении U1= 2000 B и U2 = I0000 B? Передаваемая мощность N = 100 кВт. Плотность меди D = 8900 кг/м3 .

Решение. Масса m медных проводов

, (3.68)

где S – площадь поперечного сечения подводящих проводов.

Так как потери электроэнергии в подводящих проводах не должны превышать 3 % от передаваемой энергии, следовательно, потери мощности Nпр в подводящих проводах не должны превышать 3 % от всей мощности N, т.е. Nпр = 0,03·N. С другой стороны, мощность Nпр, выделяемая в подводящих проводах, равна

,

где Rпр - сопротивление подводящих проводов, Iпр - сила тока в них, равная силе тока I в цепи. Тогда

(3.69)

Сила тока в цепи выражается через всю передаваемую мощность N и напряжение U:

. (3.70)

Сопротивление проводов можно выразить так:

, (3.71)

где ρ - удельное сопротивление меди (по таблице значение ρ = 1,7·10 –8 Ом·м), ℓ - длина подводящих прово дов, S - их поперечное сечение.

Подставляя формулы (3.70) и (3.71) в (3.69), выражаем площадь сечения S:

,

которую подставим в выражение (3.68) и найдем массу подводящих проводов:

.

Рассчитаем массу проводов, если подаваемое напряжение U1= 2000 B:

(кг).

При определении массы меди в подводящих проводах для того случая, когда напряжение равно 10 кВ, получим результат в 25 раз меньший того, который был получен для напряжения U1= 2000 B.

Пример 14.

Два источника электрического тока с ЭДС ε1 и ε2 включены в цепь по схеме (Рис. 3.6). Определить ЭДС источника ε2, если ε1 = 1,8 В, R = 1000 O м, R1 = 500 Ом, сила тока, текущего в контуре источника ε2, равна I2 = 5·10–4 A.

Решение. Выберем направления токов таким образом, как показано на рисунке стрелками. По правилам Кирхгофа для конту ров , и узловой точки a можно запи сать:

, (3.72)

, (3.73)

.

Подставляя значение I в уравнения (3.72) и (3.73), получим

, (3.74)

(3.75)

Из уравнения (3.74) выражаем I1:

, (3.76)

подставляем его в (3.75) и находим , ε2:

.

Подставляем численные значения:

=1,47(B).

| © Кафедра физики БГУИР |