| Примеры решения задач Пример 1. Частица движется так, что ее скорость изменяется со временем по закону (м/с), где t – время в секундах. В начальный момент времени t0 = 0 частица находилась в точке с координатами (1 м; 0; 0). Найти: 1) зависимость от времени модуля скорости частицы; 2) зависимости от времени вектора ускорения и модуля ускорения; 3) кинематический закон движения частицы; 4) радиус-вектор в момент времени t1=1,0 c; 5) модуль перемещения частицы за время .

Дано: (м/с) t0=0, x0= 1 м, y0=z0= 0 t1=1,0 c | Решение: Физическая система состоит из одной частицы, скорость которой изменяется со временем по закону (м/с). Так как вектор скорости частицы связан с его проекциями , , на координатные оси
1) – ? 2) – ? 3) – ? 4) – ? 5) – ? | , то зависимости от времени проекций вектора скорости данной частицы на координатные оси имеют вид (м/с), (м/с), (м/с).

1) Модуль скорости частицы связан с его проекциями на координатные оси как , тогда искомая зависимость модуля скорости частицы от времени имеет вид (м/с).

2) Вектор ускорения можно выразить через его проекции , , на координатные оси следующим образом: .

Из определения вектора ускорения следует, что проекции вектора ускорения частицы на координатные оси равны производным одноименных проекций ее скорости по времени: .

Учитывая, что (м/с), (м/с), (м/с), найдем проекции , , вектора ускорения частицы на координатные оси:

(м/с2), (м/с2),

Тогда зависимость от времени вектора ускорения частицы имеет вид (м/с2).

Модуль ускорения связан с его проекциями на координатные оси как , тогда модуль ускорения частицы зависит от времени:

(м/с2).

3) Кинематический закон движения частицы – это зависимость от времени ее радиуса-вектора . Так как радиус-вектор движущейся частицы можно выразить через ее координаты (проекции радиуса-вектора на координатные оси) как , то для ответа на вопрос задачи необходимо найти зависимости от времени координат частицы. Из определения вектора скорости следует, что проекции вектора скорости частицы на координатные оси равны производным ее одноименных координат по времени:

.

Так как (м/с) и , то получаем, что .

Умножив левую и правую часть этого уравнения на dt, имеем

.

Полученное уравнение является дифференциальным уравнением с разделенными переменными, решение которого получают интегрированием левой и правой части равенства: ,

.

Поскольку интегралы неопределенные, то полученное выражение содержит константу С1, значение которой найдем из начальных условий:

;

подставляя значения x0 = 1 м и t0 = 0, получаем С1=1 м. Тогда зависимость от времени координаты x(t) частицы имеет вид

(м).

Аналогично найдем зависимость от времени y(t) и z(t).

Так как и , то ,

,

,

.

Так как при t0 = 0 координата y0 = 0, то С2 = 0 . Тогда зависимость от времени координаты y(t) частицы имеет вид (м).

Так как и (м/с), то ,

,

,

.

Так как при t0 = 0 координата z0 = 0, то С3 = 0 . Тогда зависимость от времени координаты z(t) частицы имеет вид

(м).

Определив зависимости от времени координат частицы, запишем кинематический закон ее движения:

(м).

4) Для нахождения радиус-вектора частицы в определенный момент времени t1 подставим в кинематический закон движения частицы значение t1=1,0 c:

(м).

Проведя вычисления, получаем

(м).

5) По определению вектор перемещения частицы за время равен . Так как , то с учетом начальных условий x0 = 1 м и y0 = z0 = 0 радиус-вектор частицы в начальный момент времени равен (м). Тогда вектор перемещения составляет

,

а его модуль равен

(м).

Ответ: 1) (м/с);

2) (м/с2), (м/с2);

3) (м);

4) (м);

5) (м).

Пример 2. Однородный диск массой m и радиусом R вращается вокруг неподвижной оси, проходящей через центр диска перпендикулярно его плоскости с угловой скоростью w0 . К ободу диска приложили касательную силу, под действием которой диск начал останавливаться. В какой момент времени t после начала действия силы диск остановился, если модуль силы зависит от времени как , где – некоторая положительная постоянная.

Дано: m R t0=0, w0 , где =const

Решение:

Физическая система состоит из вращающегося однородного диска, на который действуют сила , сила тяжести и сила реакции оси (Рис. 31). Поскольку центр масс диска неподвижен, то

.

Запишем основное уравнение динамики вращательного движения диска вокруг неподвижной оси Oz, совпадающей по направлению с вектором начальной угловой скорости :

t – ? |

, (1)

где (2)

– момент инерции диска относительно оси, проходящей через его центр перпендикулярно плоскости диска (см. табл. 1); ω z – проекция угловой скорости диска на ось Oz; Mz – момент силы относительно оси Oz, Mmg z и MN z – момент силы тяжести и момент силы реакции оси относительно оси Oz соответственно. Поскольку точка О является точкой приложения сил и , то

. (3)

Согласно определению момента силы вектор направлен противоположно оси Oz, тогда момент силы относительно оси Oz равен

Mz= – F r sinβ,

где – радиус-вектор точки приложения силы ; β – угол между векторами и . Так как модуль радиуса-вектора равен радиусу диска , угол β = 900, а модуль силы зависит от времени как , то момент силы относительно оси Oz в зависимости от времени имеет вид

. (4)

Подставим выражения (2), (3) и (4) в уравнение (1):

, (5)

Перепишем полученное уравнение в виде дифференциального уравнения с разделенными переменными:

.

Интегрируя левую и правую часть этого уравнения:

,

получим

. (6)

Постоянную интегрирования С найдем из начальных условий: в начальный момент времени t0 = 0 угловая скорость диска . Подставляя эти значения в выражение (6), получим

,

откуда .

Подставляя в (6) значение постоянной , находим зависимость проекции угловой скорости вращения диска от времени:

. (7)

В момент остановки диска его угловая скорость равна нулю, т.е. , тогда из (7) имеем

.

Из этого уравнения выразим момент остановки диска:

.

Ответ: .

Пример 3. На равномерно движущейся железнодорожной платформе жестко закреплено орудие, из которого произведен выстрел в сторону, противоположную движению платформы. Определить скорость платформы до выстрела, если после выстрела ее скорость стала равной 9,0 м/с, а снаряд вылетает со скоростью 100,0 м/с под углом 300 к горизонту относительно платформы. Масса платформы с орудием 950 кг, масса снаряда 50 кг.

Дано: m1 = 950 кг m2 = 50 кг = 9,0 м/с = 100,0 м/с

=300

Решение:

Физическая система состоит из двух тел: платформы с орудием массой m1 и снаряда массой m2.

В первом состоянии (до выстрела) импульс системы относительно земли был равен

, (1)

– ? | где – скорость относительно земли платформы с орудием и снарядом до выстрела (Рис. 32).

Во втором состоянии (после выстрела) импульс системы относительно земли стал равным

, (2)

где – скорость относительно земли платформы с орудием после выстрела;

– скорость относительно земли снаряда после выстрела.

Согласно закону сложения скоростей скорость снаряда относительно земли равна геометрической сумме скорости снаряда относительно платформы и скорости платформы относительно земли (Рис. 33):

. (3)

Подставив выражение (3) в уравнение (2), получим

. (4)

Система «платформа+снаряд» незамкнута, но сумма проекций всех внешних сил (сил тяжести и силы реакции опоры), действующих на эту систему, на ось Ox (рис. 32) равна нулю, а сила трения пренебрежимо мала, следовательно, проекция импульса данной системы на ось Ox сохраняется:

, (5)

где – проекция на ось Ox импульса системы до выстрела; – проекция на ось Ox импульса системы после выстрела.

Спроектировав выражения (1) и (4) на ось Ox, получим

, (6)

. (7)

Уравнения (6) и (7) подставим в равенство (5):

.

Выражая скорость платформы до выстрела, получим

.

Подставляя числовые значения, вычислим скорость платформы до выстрела:

(м/с).

Ответ: м/с.

Пример 4. В центре скамьи Жуковского массой 15 кг и радиусом 1 м, вращающейся с угловой скоростью 1,5 рад/с, стоит человек и держит на вытянутых руках две гири по 1 кг каждая. Расстояние от каждой гири до оси вращения составляет 85 см. С какой угловой скоростью начнет вращаться скамья, если человек сожмет руки так, что расстояние от каждой гири до оси вращения станет равным 30 см? Считать, что момент инерции человека относительно оси вращения пренебрежимо мал.

Дано: = 15 кг = 1 м =1,5 рад/с =1 кг

= 85 см = 0,85 м

= 30 см = 0,30 м

Решение:

Скамья Жуковского представляет собой однородный диск, который может свободно вращаться вокруг неподвижной вертикальной оси, проходящей через центр диска перпендикулярно его плоскости. Момент инерции скамьи относительно этой оси равен (см. табл. 1):

. (1)

Физическая система состоит из скамьи с человеком и двух гирь.

По условию момент инерции человека относительно оси вращения равен нулю, т.е. . Гири можно считать материальными точками и, т.к. они находятся на одном и том же расстоянии r до оси вращения (рис. 34), то момент инерции гирь относительно этой оси равен

, (2)

-? |

где – расстояние от каждой гири до оси вращения. Поскольку момент инерции I всей системы относительно оси вращения равен сумме моментов инерции всех тел системы относительно этой же оси, с учетом (1) и (2) имеем

.

Момент инерции системы относительно оси вращения в первом состоянии (каждая гиря находится на расстоянии от оси) равен

.

Так как в первом случае скамья и гири вращаются относительно оси с одинаковой угловой скоростью (рис. 34), тогда момент импульса системы относительно оси О z будет равен

. (3)

Во втором состоянии (каждая гиря находится на расстоянии от оси вращения) момент инерции системы относительно оси вращения равен

,

а поскольку скамья и гири вращаются относительно оси с одинаковой угловой скоростью , тогда момент импульса L2z системы относительно оси О z будет равен:

. (4)

Так как моменты внешних сил (сил тяжести и реакции опоры), действующих на систему относительно оси вращения Oz, равны нулю, то момент импульса системы относительно этой оси сохраняется:

. (5)

Подставим в (5) выражения (3) и (4):

,

откуда угловая скорость выражается как

.

Подставляя числовые значения, вычислим угловую скорость :

(рад/с).

Ответ: рад/с.

Пример 5. После вертикального запуска с поверхности Земли и выключения двигателя скорость ракеты на высоте 1,5·106 м равна 6 км/с. На какой высоте над поверхностью Земли скорость ракеты уменьшится до 2 км/с при условии, что на ракету действует только сила тяготения со стороны Земли, а масса ракеты остается постоянной? Масса Земли и ее радиус известны.

Дано: h1= 1,5·106 м υ1 = 6·103 м/с υ2 = 2·103 м/с | Решение: Механическая энергия W ракеты, находящейся в гравитационном поле Земли, которое является потенциальным, складывается из кинетической W k и потенциальной W p энергий:
h2 - ? | W=W k+W p. (1)

Кинетическая энергия ракеты массой m, движущейся со скоростью υ, равна

. (2)

Потенциальная энергия ракеты в гравитационном поле Земли:

, (3)

где G=6,67·10–11 м3/(кг·с2) – гравитационная постоянная (см. «Основные физические константы и величины»), M = 5,98·1024 кг – масса Земли, r=R+h – расстояние от центра Земли до ракеты, R = 6,37·106 м – радиус Земли, h – высота ракеты над поверхностью Земли.

На высоте h1 (рис. 35) ракета обладает скоростью υ1, тогда согласно (1) с учетом (2) и (3) ее механическая энергия W1 равна

. (4)

На высоте h2 ракета обладает скоростью υ2, тогда ее механическая энергия W2 равна . (5)

Поскольку на ракету действует только сила тяготения со стороны Земли, являющаяся консервативной силой, то согласно закону сохранения энергии механическая энергия ракеты не изменяется, т.е. , а с учетом (4) и (5):

.

Выразив из данного уравнения искомую высоту h2, получим

.

Произведем вычисления:

≈ ≈ 5,13·106 (м).

Ответ: ≈5,13·106 (м).

| © Кафедра физики БГУИР |