## Механические колебания

Колебания – это процессы движения или изменения состояния, повторяющиеся в той или иной степени во времени.

Колебательная система – это физическая система, в которой все (или некоторые) величины, определяющие ее состояние, изменяются не монотонно, а претерпевают переменные увеличения и уменьшения.

По физической природе колебания бывают: механические, электромагнитные, электромеханические, термодинамические и т.д. Колебания различной физической природы обладают общностью закономерностей и свойств. Поэтому часто любые колебательные системы называют осцилляторами.

По характеру внешнего воздействия колебания делятся на:

- свободные (собственные) – колебания, возникающие в результате кратковременного внешнего возбуждения. В свою очередь различают свободные незатухающие колебания и свободные затухающие колебания;

- вынужденные – колебания, при которых для поддержания незатухающих колебаний к системе непрерывно или периодически подводится энергия от внешнего источника. В зависимости от способа поддержания незатухающих колебаний различают: вынужденные колебания под действием периодической силы, автоколебания, параметрические колебания и т. д.

По промежуткам времени, через которые состояние колебательной системы повторяется, колебания делятся на периодические и непериодические.

Периодическими называют колебания, при которых состояние колебательной системы повторяется через одинаковые промежутки времени, т.е. значения всех величин, определяющих состояние колебательной системы, повторяются через равные промежутки времени.

Период Т колебаний – промежуток времени, в течение которого колебательная система совершает одно полное колебание, т.е. приходит в начальное состояние:

,

где – промежуток времени, за который колебательная система совершила полных колебаний. В СИ [T] = 1 с.

Частота колебаний – число колебаний, совершаемых колебательной системой в единицу времени (за 1 секунду):

.

В СИ [] = 1 Гц.

Циклическая (круговая) частота ω колебаний – число колебаний, совершаемых колебательной системой за единиц времени (за секунд):

.

В СИ [ω] = 1 рад/с.

При периодических колебаниях для всех величин, определяющих состояние колебательной системы, должно выполняться условие

.

Самым простыми периодическими колебаниями являются гармонические колебания – колебания, при которых величины, определяющие состояние колебательной системы, зависят от времени по гармоническому закону, т. е. по закону синуса или косинуса.

Гармонический осциллятор – колебательная система, совершающая свободные гармонические колебания. Простейшими примерами линейного (имеющего одну степень свободы) гармонического осциллятора в механике являются пружинный, математический и физический маятник при малых отклонениях от состояния устойчивого равновесия.

Несмотря на различие физической природы колебательных процессов, происходящих в разных колебательных системах, законы движения и динамические уравнения любых гармонических колебаний имеют одинаковый вид, а сами колебательные системы обладают следующими одинаковыми отличительными свойствами:

1. Наличие состояния устойчивого равновесия.

2. В любых других возможных состояниях колебательной системы возникают условия, при которых колебательная система стремится возвратиться в состояние устойчивого равновесия. Эти условия обусловлены наличием так называемой квазиупругой силы. Квазиупругая сила – это сила или аналогичная ей величина, зависимость которой от смещения x колебательной системы относительно положения равновесия имеет такой же вид, что и сила упругости (k – коэффициент упругости), т. е. квазиупругая сила всегда прямо пропорциональна смещению колебательной системы от положения равновесия и направлена противоположно этому смещению.

3. Наличие инертности, которая не позволяет колебательной системе, выведенной из состояния равновесия, остановиться в этом положении, а обуславливает ее отклонение в противоположную сторону.

Если равнодействующая всех сил, действующих на отведенную от положения равновесия колебательную систему, является квазиупругой силой, то в проекции на направление смещения (ось Ox) согласно II закону Ньютона уравнение движения можно записать в виде

,

откуда .

Учитывая, что проекция ускорения – это вторая производная смещения x колебательной системы от положения равновесия по времени

,

и введя обозначение

,

получим следующее однородное дифференциальное уравнение второго порядка:

,

которое называется динамическим уравнением свободных незатухающих гармонических колебаний.

Если уравнение движения некоторой системы приводится к виду

,

то данное движение представляет собой свободные незатухающие гармонические колебания, циклическая частота которых равна квадратному корню из коэффициента при x в уравнении движения.

Поскольку значение (а следовательно, и периода и частоты ) полностью определяется характеристиками самой колебательной системы, то называют собственной циклической частотой.

Решением динамического уравнения свободных незатухающих гармонических колебаний является гармоническая функция x(t) смещения относительно положения равновесия от времени, называемая кинематическим уравнением (законом) свободных незатухающих гармонических колебаний:

или ,

где – амплитуда смещения – максимальное смещение колебательной системы от положения равновесия; – фаза колебаний, в СИ [φ] = 1 рад; – начальная фаза – значение фазы в начальный момент времени (t0 = 0), т.е. .

При последующем изложении материала будем полагать, что кинематическое уравнение свободных незатухающих колебаний выражается с помощью функции косинуса:

.

Тогда зависимость проекции скорости на ось Ox колебательной системы от времени при свободных незатухающих гармонических колебаниях имеет вид

,

где – амплитуда скорости – максимальное значение модуля скорости колебательной системы.

Зависимость проекции ускорения на ось Ox колебательной системы от времени при свободных незатухающих гармонических колебаниях имеет вид

,

где – амплитуда ускорения – максимальное значение модуля ускорения колебательной системы.

Зависимость проекции на ось Ox силы упругости (квазиупругой силы) от времени при свободных незатухающих гармонических колебаниях имеет вид

,

где – максимальное значение силы упругости (квазиупругой силы).

Пружинный маятник – идеальная колебательная система, состоящая из тела, рассматриваемого в виде материальной точки, закрепленного на одном конце легкой пружины, другой конец которой неподвижен в некоторой инерциальной системе отсчета.

Период малых колебаний пружинного маятника (как вертикального, так и горизонтального) равен

,

где – масса тела, – коэффициент упругости пружины.

Математический маятник – идеальная колебательная система, состоящая из легкой нерастяжимой нити, один конец которой фиксирован (точка подвеса), а на другом ее конце закреплено тело, рассматриваемое в виде материальной точки.

Период малых колебаний математического маятника, совершающего колебания только под действием силы тяжести и силы натяжения нити, причем точка подвеса маятника находится в покое относительно инерциальной системы отсчета, равен

,

где – длина нити маятника, – ускорение свободного падения.

Физический маятник – идеальная колебательная система в виде абсолютно твердого тела, насаженного на горизонтальную неподвижную относительно некоторой инерциальной системы отсчета ось (ось подвеса), не проходящей через центр тяжести этого тела. Сила трения в оси подвеса (Oz, Рис. 21) тела отсутствует.

Период малых колебаний физического маятника равен

,

где – момент инерции твердого тела относительно оси подвеса, – масса твердого тела, – ускорение свободного падения, – расстояние между центром тяжести (центром масс) твердого тела и осью подвеса.

При свободных незатухающих гармонических колебаниях энергия W колебательной системы, равная в любой момент времени сумме значений кинетической и потенциальной энергий, согласно закону сохранения энергии, остается постоянной с течением времени:

.

Значения кинетической и потенциальной энергии изменяются со временем по следующим законам соответственно:

,

,

где – максимальное значение кинетической энергии;

– максимальное значение потенциальной энергии.

Учитывая связь между амплитудами скорости и смещения :

,

а также выражение собственной циклической частоты через массу m и коэффициент упругости k:

,

легко доказать равенство максимальных значений кинетической и потенциальной энергии:

.

Энергия колебательной системы равна каждому из максимальных значений кинетической или потенциальной энергии:

.

С учетом этого, а также тригонометрических формул преобразования квадратов синуса и косинуса, зависимости значений кинетической и потенциально энергии от времени принимают следующий вид:

,

.

Из этих выражений следует, что значения кинетической и потенциальной энергии в отдельности не остаются постоянными, а изменяются по гармоническим законам с удвоенной циклической частотой .

На (Рис. 22) представлены графики зависимости от времени:

а) смещения

;

б) проекции скорости

;

в) кинетической энергии

;

г) потенциальной энергии

.

| © Кафедра физики БГУИР |