| 4. Равновесное тепловое излучение Классическая электромагнитная теория света, объясняющая широкий круг явлений с распространением света и получившая всеобщее признание в конце XIX – в начале XX веков, столкнулась с непреодолимыми трудностями в связи с вопросом об излучении света и, в частности, с вопросом о тепловом излучении.

Тепловым излучением называют электромагнитное излучение, испускаемое телами за счет убыли их внутренней энергии (энергии теплового движения их атомов и молекул). Как известно, характер излучения света, например, его интенсивность, и ее зависимость от частоты (т. е. спектральный состав излучения), определяется температурой и природой излучающего тела. Имеется, однако, случай, когда спектральный состав излучения не зависит от природы излучателя и определяется исключительно его температурой. Речь пойдет о так называемом равновесном излучении. Тепловое излучение – единственный вид излучения, который может быть равновесным.

Представим себе некоторую замкнутую полость со стенками, не проводящими тепла, и находящимися при определенной температуре . Стенки полости будут одновременно и излучать, и поглощать электромагнитные волны. Так как все излучение заключено в замкнутой полости, то через некоторое время в системе установится состояние статистического равновесия. При этом стенки полости в единицу времени будут поглощать столько же энергии электромагнитных волн с частотами от до , сколько они излучают энергии, приходящейся на тот же самый диапазон частот, и в полости установится система электромагнитных стоячих волн.

Объемная плотность w энергии соответствующего электромагнитного поля выражается формулой

,

где и – напряженности соответственно электрического и магнитного полей электромагнитной волны в данной точке пространства в произвольный момент времени.

Тепловое излучение содержит всевозможные частоты. Распределение объемной плотности энергии по частотам характеризуется ее спектральной плотностью , определяемой как:

,

где – объемная плотность энергии излучения, приходящейся на диапазон частот от до . В СИ [] = Дж·с/м3 (джоуль-секунда на метр в кубе).

В случае равновесного излучения спектральная плотность зависит только от частоты (циклической частоты или длины волны , где с – скорость света в вакууме) и температуры Т излучающего тела (излучающих стенок полости), т.е. ( или ). Простой термодинамический подход показывает, что спектральная плотность не зависит от природы излучателя, в частности стенок (их излучательной и поглощательной способностей и состояния поверхности).

Рассмотрим две полости, стенки которых имеют одинаковую температуру Т, но сделаны из разных материалов. Предположим, что спектральная плотность объемной плотности энергии излучения зависит от природы излучателя и различна в обеих полостях. Тогда, соединив полости, можно нарушить равновесие. Излучение будет переходить в ту полость, в которой его плотность меньше. В результате этого плотность излучения в этой полости вырастет, стенки полости будут поглощать больше энергии, а их температура повысится. Между стенками обеих полостей возникает разность температур, которая может быть использована для получения полезной работы. Таким образом, сделанное предположение приводит к выводу о возможности построения вечного двигателя 2-го рода, что, как известно, невозможно. Таким образом, доказано, что – есть универсальная функция частоты и температуры. Изучение излучательных и поглощательных свойств материальных тел привело Кирхгофа к установлению важной теоремы, названной теоремой (законом) Кирхгофа, формулировка которой будет приведена ниже.

Энергетическая светимость R тела (интегральная излучательная способность тела) – поток энергии электромагнитных волн всех частот, испускаемый единицей поверхности излучающего тела по всем направлениям:

,

В СИ [R] = Вт/м2 (ватт на метр в квадрате)

Часть энергетической светимости , приходящейся на узкий диапазон частот от до , прямо пропорциональна ширине этого интервала:

,

где – излучательная способность тела. В СИ [] = Дж/м2 (джоуль на метр в квадрате). Излучательная способность тела зависит от частоты излучения, температуры этого тела, его химического состава и состояния излучающей поверхности.

Энергетическая светимость тела (интегральная излучательная способность) может быть представлена как:

.

В общем случае падающее на тело электромагнитное излучение частично поглощается этим телом и частично отражается от него.

Поглощательная способность тела – отношение поглощаемой телом энергии электромагнитных волн с частотами от до к падающей на ту же поверхность тела энергии , приходящейся на тот же самый диапазон частот за одинаковый промежуток времени:

.

Поглощательная способность тела показывает, какая доля падающей на тело энергии поглощается этим телом, и зависит от частоты излучения, температуры этого тела, его химического состава, состояния излучающей поверхности.

Абсолютно черным телом называется тело, которое полностью поглощает все падающее на него излучение всех частот. Его поглощательная способность равна единице:

.

Если , то тело называют серым.

Закон (теорема) Кирхгофа: отношение излучательной способности тела к его поглощательной способности не зависит от природы, геометрической формы и свойств тела, а является одинаковой для всех тел (т. е. универсальной) функцией частоты и температуры Т:

, (4.1)

где – универсальная функция Кирхгофа.

Закон Кирхгофа отражает тот факт, что в случае равновесного излучения чем больше энергии излучается в единицу времени единичной площадью поверхности тела в интервале частот от до , тем больше энергии поглощается за то же время тем же участком поверхности в том же частотном интервале. Т. е. чем сильнее тело поглощает излучение какой-либо частоты, тем интенсивней оно испускает данное излучение.

Оказывается, что универсальная функция связана простым соотношением со спектральной плотностью объемной плотности энергии равновесного излучения:

, (4.2)

где с – скорость света в вакууме.

Нахождение вида функции (или ) является основной задачей теории теплового излучения. Особый случай представляет собой изучение абсолютно черного тела, поскольку его поглощательная способность абсолютно черного тела , то из (4.1) следует, что излучательная способность абсолютно черного тела и есть универсальная функция Кирхгофа :

,

а с учетом (4.2):

.

Таким образом, абсолютно черное тело имеет максимальную излучательную способность. Измеряя ее, можно на опыте определить вид функции , а, значит, и вид функции Кирхгофа .

В природе не существует абсолютно черного тела, т. к. часть лучистой энергии всегда отразится, какой бы ни была поверхность тела. Однако замкнутая полость, которую мы рассматривали выше, является моделью абсолютно черного тела. Действительно, все излучение, испускаемое стенками, ими же и поглощается. Если сделать в полости маленькое отверстие, то, изучая излучение, выходящее через него, можно экспериментально найти вид функции .

С помощью таких моделей и было экспериментально изучено распределение энергии излучения в зависимости от частоты при различных температурах Т. В экспериментальной физике отдают предпочтение зависимости спектральной плотности объемной плотности энергии не от частоты , а от длины волны электромагнитного излучения:

.

Если интервалы и в разных формах представляют один и тот же диапазон электромагнитного излучения, то . Учитывая, что , тогда . С учетом этого связь между функциями и имеет вид:

.

На (Рис. 19) представлены экспериментально полученные зависимости спектральной плотности объемной плотности энергии от длины волны при различных фиксированных температурах. Все кривые для различных температур обнаруживают характерное поведение.

При больших длинах волн спектральная плотность излучения увеличивается с ростом , затем проходит через максимум и снова стремится к нулю. Положение максимума сдвигается в сторону коротких длин волн по мере повышения температуры . Это были экспериментальные результаты, а теперь рассмотрим краткую теорию этих вопросов и сравним ее с экспериментом.

4.1. Классическая теория излучения абсолютно черного тела

Заметим сначала, что, не выходя за пределы термодинамики и электромагнитной теории света, можно кроме теоремы Кирхгофа вывести еще два закона для черного излучения (равновесного излучения абсолютно черного тела): закон Стефана-Больцмана (1879 г. и 1884 г) и закон смещения Вина (1893 г.).

Закон Стефана-Больцмана: энергетическая светимость абсолютно черного тела прямо пропорциональна четвертой степени его абсолютной температуры Т:

,

где σ = 5,67∙10–8 Вт/(м2К4) – постоянная Стефана-Больцмана.

Закон смещения Вина: в спектре излучения абсолютно черного тела длина волны λ m, на которую приходится максимум спектральной плотности излучения, обратно пропорциональна его термодинамической температуре:

,

где b =2,9∙10–3 м∙К – постоянная Вина.

Справедливость этих законов можно доказать на основе классической термодинамики и электромагнитной теории света с помощью эмпирически полученной формулы Вина для спектральной плотности излучения (закон излучения Вина):

,

где – функция, зависящая только от отношения частоты к температуре, конкретный вид которой нельзя

установить термодинамическими методами.

Для доказательства закона Стефана-Больцмана проинтегрируем формулу Вина по всему спектру частот:

.

Сделав замену переменных и , получим

.

Очевидно, что интеграл в правой части равенства даст просто число, т.е. действительно, если верна формула Вина, то полная энергия излучения (и энергетическая светимость) абсолютно черного тела оказывается пропорциональной четвертой степени температуры .

Причина, по какой закон Вина называют «законом смещения», такова: экспериментально было обнаружено, что интенсивность излучения раскаленного тела, температура которого поддерживается постоянной, как функция длины волны ведет себя следующим образом (см. Рис. 19). При некоторой длине волны наблюдается максимум, который с изменением температуры смещается, в то время как произведение оказывается постоянным:

.

Это можно легко доказать, используя формулу Вина. Запишем его через длину волны :

и найдем максимум полученной функции. Условие максимума функции:

,

,

,

Уравнение содержит всего одну неизвестную величину , и его решение, если оно существует, должно иметь форму . Значение постоянной нельзя определить, если не известен вид функции . Таким образом, доказана справедливость закона смещения Вина.

Чтобы найти вид функции , необходимо обратиться к конкретной модели. Исходя из термодинамики ясно, что форма закона, определенного той или иной функцией , не должна зависеть от конкретного механизма излучения. Поэтому в качестве простейшей модели излучающего тела Макс Планк выбрал линейный гармонический осциллятор с собственной частотой . Для такого осциллятора можно рассчитать энергию, излучаемую за 1 с (она будет равна просто энергии излучения колеблющегося диполя) и работу, произведенную над осциллятором полем излучения за то же время. В случае равновесия обе эти величины должны совпадать. Тогда получается, что

, (4.3)

где – энергия осциллятора, усредненная по некоторому промежутку времени, который велик по сравнению с периодом, но все же настолько мал, что излучением за это время можно пренебречь.

Таким образом, если мы знаем среднюю энергию осциллятора, то мы знаем также и спектральное распределение интенсивности черного излучения.

Значение , определенное методами классической статистики, оказывается равным , где – постоянная Больцмана. Это частный случай общего результата статистической механики – закона о равном распределении средней энергии. В соответствии с этим законом каждый член в гамильтониане (полная энергия), пропорциональный квадрату координаты или импульса, дает один и тот же вклад в среднюю энергию, а именно , а в гамильтониане осциллятора есть два таких члена и, следовательно, его средняя энергия есть . Покажем это. По статистике Больцмана, при равновесии состояние осциллятора, характеризуемое энергией , встречается с относительной вероятностью . Поэтому средняя энергия равна результату усреднения по всем состояниям. Введя обозначение , получим:

.

Таким образом, подставляя полученный результат в (4.3), имеем

. (4.4)

Это выражение представляет собой закон излучения Релея-Джинса (1900, 1909 гг.). Заметим, что этот закон согласуется с законом Вина, чего и следовало ожидать. В длинноволновой области, т. е. при малых частотах, закон Релея-Джинса также очень хорошо согласуется с экспериментальной кривой распределения спектральной плотности излучения. В этой области плотность возрастает пропорционально второй степени частоты. Но для больших частот формула уже не верна. Из эксперимента известно, что, проходя через максимум, спектральная плотность излучения ведет себя так, как представлено на (Рис. 19), чего не следует из полученной формулы. Мало того, что отсутствует максимум, так спектральная плотность непрерывно возрастает как квадрат частоты, что приводит к расходимости интеграла:

,

откуда следует абсурдный вывод: при любой температуре Т энергетическая светимость абсолютно черного тела принимает бесконечное значение (R*→ ∞), а значит, тепловое равновесие между веществом и телом невозможно. Этот вывод, бесспорно противоречащий опыту, получил название «ультрафиолетовой катастрофы».

Эту явную несуразицу пытались устранить с помощью следующей гипотезы. Предположим, что для достижения равновесия требуется определенное время (время релаксации). Пусть для черного излучения это время очень велико, т. е. равновесие устанавливается не скоро. Но за это время, как нетрудно представить, в результате внешних воздействий свойства системы могут полностью измениться. Однако эти рассуждения не затрагивают существа дела. Действительно, мы всегда можем, по крайней мере, теоретически, как угодно долго поддерживать внешние условия неизменными. Тогда рано или поздно равновесие все же установится.

В такой ситуации Макс Планк (1900 г.) выдвинул смелую гипотезу, что все эти трудности можно обойти, допустив существование конечных дискретных квантов энергии , таких, что энергия осциллятора может оказаться равной (помимо нулевого значения ) лишь , 2, 3, … . Именно таким образом мы и получим закон излучения Планка, который нашел блестящее экспериментальное подтверждение. Самое важное в этом случае – найти среднюю энергию. Для этого по-прежнему будем считать, что состояние с тем или иным значением энергии встречается с относительной вероятностью, определяемой больцмановским множителем , но теперь в расчетах должны фигурировать уже не все энергии, как это было раньше, а лишь энергии вида (n = 0, 1, 2, …). Поэтому при нахождении среднего значения энергии вычисление интегралов заменим вычислением дискретных сумм:

.

Подставляя найденное выражение в формулу (4.3), получаем:

.

Чтобы это выражение не противоречило закону излучения Вина, который, будучи прямым следствием термодинамики, справедлив при всех обстоятельствах, необходимо принять, что

где – постоянная, носящая имя Планка.

Теперь отсюда прямо следует закон излучения Планка:

. (4.5)

Как уже говорилось, эта формула отлично согласуется с опытом:

В области малых частот , поэтому разложение экспоненты в знаменателе (4.5) в ряд по степеням

приводит к следующему результату:

.

Подставив последнее выражение в (4.5), получим:

,

что полностью соответствует закону Релея-Джинса (4.4). Таким образом, в области малых частот закон Планка согласуется с классическими выражениями.

В области больших частот , поэтому экспонента в знаменателе (4.5) гораздо больше 1. В этом случае

единицей в знаменателе можно пренебречь:

,

тогда из (4.5) получим приближенный закон излучения для больших частот (коротких волн):

. (4.6)

Закон излучения в форме (4.6) был предложен ранее Вином (1896 г.), который пытался феноменологически описать результаты своих измерений в области больших частот.

Между областями применимости двух предельных законов (закона Рэлея-Джинса (4.4) и закона Вина (4.6)) лежит обширная переходная область, где и находится максимум кривой распределения. При повышении температуры этот максимум в соответствии с законом Вина сдвигается в сторону более коротких длин волн.

Переходя к записи спектральной плотности излучения через длину волны , получаем:

.

Функция имеет максимум при длине волны , которую можно найти из условия

или

.

Вводя обозначение , получим

.

Решение этого трансцендентного уравнения дает значение .

Таким образом,

.

Это и есть закон смещения Вина.

Постоянная Планка h была впервые определена самим Планком с помощью закона Стефана-Больцмана и закона смещения Вина. Согласно первому закону, энергия, излучаемая с квадратного метра нагретой до температуры поверхности за 1 с, есть

,

где Вт/(м2·К4) – постоянная Стефана-Больцмана.

Значение постоянной Стефана-Больцмана можно получить и теоретически, интегрируя по всему спектру функцию распределения Планка. В результате получим:

.

С другой стороны, измерения показывают, что постоянная в законе Вина м·К. Чтобы найти порядок этой величины, достаточно заметить, что максимум интенсивности в излучении Солнца, которое излучает как черное тело, при температуре лежит в зеленой части спектра, т. е. приблизительно при = 450 нм. Зная эти две эмпирические постоянные, можно рассчитать и :

Дж·с,

Дж/К.

Найденные таким образом значения хорошо согласуются с оценками, полученными другими методами.

Из общего вида кривых распределения следует еще один вывод – коэффициент полезного действия (КПД), например, ламп накаливания и других осветительных приборов совершенно ничтожен. Действительно, область видимого света соответствует лишь узкой полосе в спектре теплового излучения, вся остальная энергия излучения пропадает даром для освещения.

Вернемся снова к истории открытия Планка. Его гипотеза встретила сначала яростное сопротивление физиков. Никто не хотел верить, что непременным условием вывода закона излучения является обращение к гипотезе квантов. Считалось, что новые идеи представляют собой просто математический прием и рано или поздно найдут классическую интерпретацию этого явления. Однако все попытки подобного рода потерпели провал.

| © Кафедра физики БГУИР |