| 2. Д ифракция света При определенных условиях световые волны (как и другие волны) могут отклоняться от своего прямолинейного распространения. Дифракция – это совокупность явлений, наблюдаемых при распространении света в среде с резко выраженными неоднородностями (размеры которых ~, где – расстояние до точки наблюдения), проявляющихся в перераспределении световой энергии в пространстве в результате суперпозиции волн.

В узком понимании дифракция – это огибание волнами препятствий и проникновение их в область геометрической тени (отклонение распространение волн вблизи препятствий от законов геометрической оптики).

Для наблюдения дифракции световых волн необходимы специальные условия, обусловленные малостью их длин волн. Обычно на пути световой волны помещают непрозрачную преграду, закрывающую часть световой волны. За преградой помещают экран, на котором при определенных условиях возникает дифракционная картина в виде той или иной системы чередования полос или пятен – максимумов и минимумов освещенности.

Различают два вида дифракции:

1. Дифракция Френеля – источник и точка наблюдения находятся на конечном расстоянии от препятствия (дифракция в расходящихся пучках).

2. Дифракция Фраунгофера – на бесконечном расстоянии (дифракция в параллельных пучках).

2.1. Принцип Гюйгенса-Френеля

Строгая теория дифракции основана на решении системы уравнений Максвелла. Приближенный метод решения задач о распространении волн основан на принципе Гюйгенса-Френеля, согласно которому все элементы поверхности, через которую в данный момент времени проходит фронт волны, становятся источниками когерентных вторичных волн, а волновая поверхность в любой последующий момент времени является результатом интерференции (наложения) этих вторичных волн. Таким образом, между интерференцией и дифракцией нет принципиального различия. Исторически принято называть интерференцией суперпозицию волн от конечного числа дискретно расположенных когерентных источников волн, а дифракцией – от бесконечного числа непрерывно расположенных когерентных источников.

Запишем математическое выражение принципа Гюйгенса-Френеля. Результирующее возмущение в точке Р является суперпозицией возмущений, исходящих от участков волновой поверхности S (Рис. 2):

,

где – коэффициент, обусловленный поперечностью волны;

– сферическая волна на расстоянии от ;

– амплитуда возмущения от .

Вычисления по данной формуле сложны, однако, в случаях, имеющих симметрию, сводятся к простому алгебраическому или геометрическому суммированию.

2.2. Дифракция Френеля

Для учета интерференции вторичных волн Френель предложил мысленно разбить волновую поверхность в месте расположения преграды (например, круглое отверстие на экране Э) на кольцевые зоны по следующему правилу: расстояния от краев соседних зон до точки должны отличаться на (Рис. 3 а).

Радиус внешней границы -й зоны связан с высотой сферического сегмента и радиусом сферической волновой поверхности следующим соотношением (Рис. 3, б):

.

С другой стороны можно представить в виде:

.

Решая систему их двух последних уравнений относительно с учетом малости длины волны и высоты сегмента по сравнению с расстояниями a и b, получаем:

.

Площадь -й зоны (при достаточно малых ) можно выразить через ее радиус и радиус соседней зоны:

,

откуда следует, что не зависит от номера зоны , т. е. площади всех зон примерно одинаковы.

Поэтому все зоны должны возбуждать в точке колебания одинаковой амплитуды. Однако это условие нарушается вследствие того, что у каждой последующей зоны угол больше, чем у предыдущей: . Разность хода от соседних зон равна , следовательно, колебания от них приходят в противофазах:

+… .

Выражения в скобках равны нулю, т.к. для монотонно убывающей функции

.

Таким образом, интенсивность света (поскольку ~) в точке будет меняться не монотонно: пока открывается 1-я зона увеличивается и достигает максимума при полностью открытой первой зоне ( в точке в 4 раза больше, чем в отсутствие экрана); по мере открывания 2-й зоны уменьшается почти до 0. При четном числе открытых зон в точке наблюдается минимум интенсивности света, при нечетном – максимум.

Метод зон Френеля – алгебраический. Более полную информацию можно получить, используя метод графического сложения амплитуд колебаний. При этом волновую поверхность также делят на кольцевые зоны, но очень малой ширины:

, при .

Тогда векторная диаграмма имеет вид, изображенный на (Рис. 4). – результат действия 1-й зоны; – результат действия 2-й зоны; – суммарный вектор колебаний. Вектор имеет длину в больше, чем , т. е. интенсивность света в точке при открытой внутренней половине первой зоны в 2 раза больше, чем при числе зон, стремящихся к .

Если закрыть все четные или все нечетные зоны, то интенсивность света в точке резко возрастет, таким образом, получается амплитудная зонная пластинка (например фотографированием колец Ньютона).

Если изменить толщину этих четных или нечетных колец на , то интенсивность возрастает еще в 4 раза – фазовая зонная пластинка действует как линза.

2.3. Дифракция Фраунгофера от щели

Описанные в предыдущем разделе построения Френеля позволяют рассчитать интенсивность света позади экрана с круглым отверстием в точке, лежащей на оси симметрии. Найти вид всей дифракционной картины очень сложно. Однако можно создать такие условия наблюдения дифракционного спектра, при которых возможен полный расчет интенсивность света на экране. Пусть отверстие в экране представляет собой длинную щель шириной , на которую нормально падает плоская световая волна (Рис.5).

Согласно принципу Гюйгенса-Френеля, волновую поверхность падающей волны в плоскости щели следует разбить на столь малые участки, чтобы колебания в точке наблюдались , вызываемые вторичными волнами от всех точек одного участка, имели бы почти одинаковую фазу.

Для нахождения результирующей амплитуды колебаний в любой точке экрана необходимо знать распределение фаз всех колебаний, приходящих в эту точку. Так как линза не вносит дополнительной разности хода, то распределение фаз в точке будет таким же, как и в плоскости , образующей с плоскостью щели угол . Сумма когерентных возмущений от всех участков этой поверхности равна

.

Распределение интенсивности света (как величины ~) на экране, расположенном в фокальной плоскости линзы, описывается выражением

, (2.1)

где – интенсивность света, идущего от всей щели в направлении .

При значении углов дифракции , удовлетворяющих условию:

,

т. е. при ( – порядок дифракции) . Количество наблюдаемых минимумов , так как .

Найдем положения максимумов, продифференцировав выражение (2.1) и приравняв полученную производную нулю. Введем обозначение .

.

Из условия определяются положения минимумов, а из условия – максимумов. Решая трансцендентное уравнение графически (Рис.6), получим значения , при котором .

Данное уравнение имеет бесчисленное множество решений, так как имеется бесчисленное множество точек пересечения графиков функции и , однако число максимумов не превышает числа минимумов.

Таблица 1

0 | 1
1,43 | 0,047
2,46 | 0,016
……. | ……..

На основании проведенного анализа можно построить график (Рис. 7). Угловая ширина центрального максимума .

На максимум первого порядка приходится 5 % падающей энергии, на максимум второго порядка – 2 %. Отметим, что подобная картина будет наблюдаться, если , но эти параметры соизмеримы. Если или , то дифракционная картина не наблюдается.

2.4. Дифракционная решетка

Поскольку совокупность щелей усиливает эффект перераспределения световой энергии, то на практике используют дифракцию не на одной щели, а на дифракционной решетке.

Дифракционная решетка – спектральный прибор, состоящий из большого числа регулярно расположенных штрихов (щелей, канавок, выступов), нанесенных на прозрачную или металлическую поверхность. Дифракционные решетки используются для разложения света в спектр и измерения длин волн.

Сумма ширины прозрачной части и непрозрачной называется периодом решетки (Рис. 8). Стеклянные решетки могут иметь 1200 щелей (штрихов) на 1 мм ( = 0,8 мкм); металлические отражательные – до 2000 штр./мм. Длина решеток достигает 200 мм.

Как следует из выражения (2.1) , перемещение щели параллельно самой себе не изменяет дифракционную картину, т. е. если параллельно одной щели поместить другие, то создаваемые каждой щелью картины будут одинаковыми. Это означает, что результирующая дифракционная картина от щелей получается путем сложения картин от каждой щели с учетом взаимной интерференции, т. е. результирующее колебание в точке представляет суперпозицию колебаний с одинаковыми амплитудами , но сдвинутыми по фазе на одну и ту же величину:

,

где – оптическая разность хода двух вторичных волн, исходящими от соседних щелей, – угол дифракции.

Основанный на этом факте расчет дает следующее выражение для распределения интенсивности на экране Э при нормальном падении плоской световой волны на дифракционную решетку:

.

Первый множитель обращается в 0 при

, (2.2)

где b – ширина щели, . Это значит, что во всех направлениях , удовлетворяющих условию (2.2), свет не идет ни от одной щели, поэтому выражение (2.2) определяет угловые положения главных минимумов.

Второй множитель принимает значения в точках, удовлетворяющих условию

d sinφ=mλ, (2.3)

где – порядок спектра. Уравнение (2.3) называется уравнением дифракционной решетки и определяет положение всех главных максимумов за исключением случаев, когда отношение ширины щели b к периоду d дифракционной решетки равно отношению целых чисел.

Наибольший порядок максимума ; число главных максимумов равно .

Между соседними главными максимумами имеется добавочных минимумов – они возникают в направлениях, в которых колебания от отдельных щелей гасят друг друга:

, где , . (2.4)

Между добавочными минимумами возникают слабые вторичные максимумы, число которых равно . Из выражений (2.2) и (2.3) следует, что при отдельных значениях m главные максимумы могут и не возникать. Это наблюдается, когда отношение ширины щели b к периоду d дифракционной решетки равно отношению целых чисел. Например, если (d = 2 b), то происходит наложение минимума первого порядка на максимум второго порядка, в результате чего последний пропадает. При этом все четные главные максимумы также наблюдаться не будут (Рис. 9).

При падении плоской световой волны на дифракционную решетку под углом к нормали угловые положения главных дифракционных максимумов определяются условием:

,

где ; – угол между нормалью к решетке и направлением распространения волн, образующих m-й максимум; при этом должно выполняться условие, что оба угла и отсчитываются от нормали к решетке в одном направлении.

2.5. Параметры решетки как спектрального прибора

Зависимость положения максимума и минимума от длины волны позволяет использовать дифракционную решетку для спектрального анализа.

Основными характеристиками спектральных приборов являются:

1) угловая дисперсия D, определяемая как

,

где – угловое расстояние между двумя соседними главными максимумами одного порядка для длин волн и .

Значение D можно найти, продифференцировав выражение (2.3):

.

Следовательно,

;

2) разрешающая способность R, равная

,

где – минимальная разность между длинами волн двух спектральных линий, при которой эти линии воспринимаются еще раздельно.

Эта минимальная разность определяется с помощью критерия Рэлея, согласно которому две спектральные линии с равными интенсивностями и одинаковой симметрией контура разрешимы, если максимум одной линии совпадает с минимумом другой (). При выполнении этого условия интенсивность в промежутке между максимумами составляет 80 % от (Рис. 10).

Выразим разрешающую способность через порядок спектра и число штрихов решетки :

,

отсюда .

Тогда разрешающая способность R дифракционной решетки равна

.

2.6. Дифракция на пространственных структурах

Дифракция на пространственных структурах – важный случай дифракции, позволяющий исследовать периодические структуры, например кристаллы. Всякий монокристалл состоит из упорядоченно расположенных частиц (атомов, ионов, молекул), образующих трехмерную дифракционную решетку. Расстояние между узлами кристаллической решетки м, поэтому при прохождении видимого света с ~ м дифракция не наблюдается ( по порядку не должна превышать ). Зато для рентгеновских волн монокристалл является идеальной естественной дифракционной решеткой.

Простой метод расчета дифракционной картины основан на рассмотрении дифракции рентгеновских волн как результата их отражения от системы параллельных кристаллографических плоскостей (плоскостей, в которых лежат узлы кристаллической решетки). Это отражение осуществляется лишь при таких углах падения волн на кристалл, которые соответствуют интерференционным максимумам для волн, отраженных от разных плоскостей (Рис.11). Поскольку показатель преломления всех веществ для рентгеновского излучения близок к единице (), то оптическая разность хода двух волн, отразившихся зеркально от соседних кристаллографических плоскостей равна (см. Рис. 11)

,

где d – межплоскостное расстояние, – угол скольжения (дополнение угла падения до π/2) рентгеновских волн.

Направления, в которых возникают дифракционные максимумы, должны удовлетворять условию (формула Вульфа-Брэгга):

,

где .

Таким образом, с помощью дифракционной картины можно исследовать спектральный состав рентгеновского излучения (рентгеноспектроскопия) и изучать структуру кристаллов (рентгеноструктурный анализ).

| © Кафедра физики БГУИР |