| Примеры решения задач Пример 1. По тонкому проводящему кольцу радиусом R = 0,1 м течет ток I = 2 А. Определить модуль вектора индукции магнитного поля этого тока в центре кольца и в точке С, расположенной на оси кольца на расстоянии а = 0,1 м от его центра.

Решение. Воспользуемся законом Био-Савара-Лапласа:

(4.1)

Векторы индукции магнитного поля и в точке С от двух равных по величине элементов и кругового тока I, расположенных на концах одного и того же диаметра кольца, не сов падают по направлению (Рис. 4.1), однако, равны по абсолютной ве личине

, (4.2)

где учтено, что , а .

Тогда модуль вектора индукции dB магнитного поля, создаваемого элементами и кругового тока I в точке C равен

.(4.3)

Для нахождения модуля вектора индукции BC магнитного поля, создаваемого в точке C всем круговым током I необходимо проинтегрировать выражение (4.3) по переменной ℓ от 0 до π R:

. (4.4)

Для центра кольца а = 0 и формула (4.4) будет иметь вид

. (4.5)

Проведем вычисления по формулам (4.4) и (4.5):

(Тл),

(Тл).

Пример 2. Тонкая медная полоса шириной a изгибается и образует цилиндрическую поверхность, радиус которой R. Определить модуль вектора индукции магнитного поля в центре одного из оснований.

Решение. На расстоянии от верхнего основания цилиндра на боковой поверхности выделим узкую полоску шириной (Рис. 4.2). Величина тока, проходящего по этой полоске , а индукция магнитного поля, создаваемая этим током в точке О, равна (см. решение задачи 1):

. (4.6)

Для нахождения модуля вектора индукции B магнитного поля, создаваемого в точке О током I, протекающим по всей медной поло се, необходимо проинтегрировать выражение (4.6) по переменной x от 0 до a:

.

Аналогичным образом можно найти модуль вектора индукции магнитного поля в точке, расположенной на оси цилиндра. Для этого необходимо изменить лишь пределы интегрирования.

Пример 3. Длинный диэлектрический цилиндр радиусом R ста тически поляризован так, что во всех точках поляризованность , где - положительная постоянная, r - расстояние от оси. Цилиндр привели во вращение вокруг его оси с угловой скоростью ω. Найти модуль вектора индукции магнитного поля в центре цилиндра.

Решение. По теореме Гаусса для поля вектора поляризованности в дифференциальной форме объемная плотность связанного заряда в каждой точке диэлектрического цилиндра равна

.

Т.к. в каждой точке диэлектрического цилиндра поляризованность направлена перпендикулярно его оси, а ее величина зависит только от расстояния r до этой оси, то

,

тогда .

Выделим в цилиндре элемент в виде тонкого кольца радиусом , толщиной и высотой , объем которого равен (Рис. 4.3).

В данном тонком кольце сосредоточен заряд

.

Вращаясь с угловой скоростью , этот заряд создает ток силой

,

модуль вектора плотности j которого в точке, где расположена площадка , равен

. (4.7)

Для нахождения модуля вектора индукции B в центре цилиндра воспользуемся теоремой о циркуляции вектора :

, (4.8)

где L – направленный контур abcd длиной R и шириной ℓ (см. рис. 4.3), S – площадь поверхности, ограниченной контуром L. С учетом направлений векторов и

. (4.9)

Найдем интеграл в правой части равенства (4.8), принимая во внимание выражение (4.7), и направления векторов и :

. (4.10)

Выражения (4.9) и (4.10) подставим в уравнение (4.8):

,

откуда модуль вектора индукции B магнитного поля в центре цилиндра равен

.

Пример 4. Определить модуль силы, действующей на прямой проводник A С, со стороны магнитного поля бесконечно длинного тока I1 = 10 А (Рис. 4.4). Проводник лежит в плоскости тока I1 и пер пендикулярен к нему. Расстояние r2 = 5 r1. По проводнику A С течет ток I2 = 5 А.

Решение. Проводник АС находится в неоднородном магнитном поле бесконечного прямолинейного тока I1. Выделим в проводнике АС элемент , находящийся на расстояние r от бесконечного проводника. На этот элемент со стороны магнитного поля будет действовать сила Ампера

, (4.11)

где I2 - сила тока в проводнике АС; – вектор индукции магнитного поля, создаваемого бесконечно длинным проводником с током I1 в месте расположения элемента .

Модуль вектора индукции магнитного поля бесконечно длинного проводника с током I1 на расстоянии r от него равен

, (4.12)

а его направление перпендикулярно элементу (см. рис. 4.4).

Тогда согласно (4.11) модуль силы dF, действующей на элемент с током I2 со стороны магнитного поля тока I1 равен

, (4.13)

где учтено выражение (4.12) и равенство d ℓ = dr.

Интегрируя правую часть выражения (4.13) по переменной r от r1 до r2 находим модуль силы, действующей на прямой проводник A С, со стороны магнитного поля бесконечно длинного тока I1:

.

Проведем вычисления:

(Н).

Пример 5. Электрон движется по винтовой линии с радиусом R и шагом h в однородном магнитном поле индукцией B. Определить модуль скорости электрона.

Решение. Разложим вектор скорости электрона на две составляющие (Рис. 4.5): , направленную перпендикулярно линиям магнитной индукции, и , направленную вдоль этих линий:

.

Тогда модуль скорости можно выразить через модули составляющих и :

(4.14)

По второму закону Ньютона

, (4.15)

где m – масса электрона, – ускорение, сообщаемое ему силой Лоренца , е – заряд электрона, – вектор магнитной индукции. Модуль силы Лоренца равен

, (4.16)

где учтено, что , α – угол между векторами и (см. рис. 4.5).

Т.к. сила Лоренца всегда перпендикулярна вектору скорости частицы, то она сообщает ей нормальное ускорение:

, (4.17)

где R – радиус винтовой линии.

С учетом (4.16) и (4.17) уравнение (4.15) можно записать в скалярном виде:

,

откуда . (4.18)

Период Т обращения электрона равен

.

Модуль составляющей скорости , направленной вдоль силовых линий магнитного поля, можно выразить через шаг h винтовой линии и период Т обращения:

. (4.19)

Подставляя выражения (4.18) и (4.19) в уравнение (4.14), находим модуль скорости движения электрона:

.

Пример 6. По тонкому стержню длиной ℓ равномерно распределен заряд q. Стержень приведен во вращение с постоянной угловой скоростью ω относительно оси, перпендикулярной к стержню и проходящей через его середину. Определить: 1) магнитный момент, обусловленный вращением заряженного стержня; 2) отношение магнитного момента к моменту импульса , если масса стержня равна m.

Решение. 1) На расстоянии от оси вращения ОО' выделим элемент стержня длиной (Рис. 4.6). Этот элемент обладает зарядом . Вращающийся с угловой скоростью ω заряд dq эквивалентен круговому току силой dI, равной

. (4.20)

Магнитный момент dpm кругового тока dI, радиусом x равен

, (4.21)

где – площадь, ограниченная током dI.

Так как направления магнитных моментов всех элементов стержня совпадают, то полный магнитный момент pm, обусловленный вращением всего заряженного стержня, найдем интегрированием выражения (4.21) по переменной x от –ℓ/2 до ℓ/2:

. (4.22)

2) Модуль момента импульса L стержня относительно оси вращения ОО' равен

,

где – момент инерции стержня относительно оси ОО', ω – угловая скорость его вращения. Тогда

. (4.23)

С учетом выражений (4.22) и (4.23) отношение магнитного момента вращающегося стержня к его моменту импульса равно

.

| © Кафедра физики БГУИР |