| Магнитное поле в вакууме Магнитное поле создается движущимися электрическими зарядами: · движущимися отдельными заряженными частицами или телами; · токами; · замкнутыми токами, т.е. телами, обладающими магнитным моментом.

Магнитный момент плоского контура с током I, ограничивающего поверхность площадью S, равен

,

где – единичный вектор положительной нормали к контуру, направление которого связано с направлением тока I в контуре правилом правой руки (или правого винта) (Рис. 14): если четыре пальца правой руки согнуть по направлению тока I в контуре, то отогнутый большой палец укажет направление положительной нормали .

[pm] = А·м2 (ампер-метр в квадрате).

Магнитное поле оказывает силовое действие на движущиеся электрические заряды. Силовой характеристикой магнитного поля является вектор магнитной индукции .

Направление вектора в каждой точке магнитного поля совпадает с направлением вектора магнитного момента небольшого контура с током (в пределах которого магнитное поле можно считать однородным), находящегося в положении устойчивого равновесия в данной точке поля.

Модуль вектора магнитной индукции В равен отношению максимального вращающего момента сил Мmax, действующего на контур с током со стороны магнитного поля в данной его точке (при = 900 (рис. 15)) к модулю магнитного момента pm этого контура:

.

В СИ [B] = Тл (тесла).

Графически стационарное (не изменяющееся со временем) магнитное поле изображают с помощью силовых линий (линий магнитной индукции). Силовая линия магнитного поля (линия магнитной индукции) – это воображаемая непрерывная направленная линия, касательная к которой в каждой точке совпадает с направлением вектора в этой точке. Силовые линии магнитного поля всегда замкнуты.

Вектор индукции магнитного поля, созданного электрическим зарядом q, равномерно движущимся со скоростью () в точке, с радиусом-вектором , проведенным от заряда к точке наблюдения А (Рис. 16), равен

,

где Гн/м – магнитная постоянная.

Направление вектора связано с кратчайшим поворотом вектора к вектору правилом правого винта: вращение правого винта по кратчайшему повороту вектора к вектору обуславливает поступательное перемещение винта в направлении вектора . Поскольку направление вектора связано с направлением вращения к , то он является псевдовектором.

Модуль вектора равен

,

где α – угол между векторами и (см. Рис. 16).

Закон Био–Савара–Лапласа:

1. Принцип суперпозиции магнитных полей:

вектор индукции в данной точке магнитного поля, созданного несколькими источниками равен векторной сумме индукций полей, создаваемых каждым источником в отдельности в этой точке:

- для дискретного распределения источников, где - вектор индукции поля, создаваемого i-м источником в данной точке поля;

- для непрерывного распределения источников магнитного поля - токов, где - вектор индукции поля, создаваемого малым элементом с током в данной точке пространства.

2. Вектор индукции магнитного поля в вакууме, созданного малым элементом проводника длиной dℓ, по которому течет постоянный ток I, в точке с радиусом-вектором , проведенным от элемента к точке наблюдения А, (рис. 17), равен:

,

где – вектор, по модулю равный длине dℓ элемента проводника и совпадающий по направлению с током I.

Направление вектора определяется по правилу правого винта.

Модуль вектора равен

,

где α – угол между векторами и (см. Рис. 17).

Циркуляцией Γ вектора индукции вдоль ориентированной замкнутой кривой (ориентированного контура) L называют число, равное значению криволинейного интеграла:

,

где - ориентированный элемент замкнутого контура L, по направлению совпадающий с направлением обхода контура; Bℓ = B·cosα - проекция вектора на направление , α - угол между ними (Рис. 18).

Теорема о циркуляции вектора для магнитного поля постоянных токов в вакууме (в интегральной форме): циркуляция вектора вдоль любого ориентированного замкнутого контура L равна произведению магнитной постоянной m 0 на алгебраическую сумму токов, охватываемых этим контуром

.

В эту алгебраическую сумму ток входит с положительным знаком в случае, когда его направление связано с направлением обхода контура правилом правой руки. В противном случае – с отрицательным знаком.

Магнитное поле бесконечного тока (постоянного тока I, текущего по тонкому прямому проводнику бесконечной длины). Силовые линии магнитного поля бесконечного тока представляют собой концентрические окружности с центрами на оси тока, плоскости которых перпендикулярны току, а направления связаны с током правилом правой руки (правого винта) (рис. 19). Модуль индукции В магнитного поля прямого бесконечного постоянного тока I в точке, удаленной от проводника на расстояние r0, равен

.

Магнитное поле длинного соленоида. Силовые линии магнитного поля внутри длинного соленоида параллельны его оси, а их направление связано с направлением тока I в обмотке соленоида правилом правой руки (правого винта) (рис. 20). Модуль индукции В однородного магнитного поля внутри длинного соленоида (вдали от его торцов) равен

,

где I – сила тока в соленоиде; – число витков, приходящихся на единицу длины соленоида; N – общее число витков соленоида; ℓ – его длина.

Потоком вектора индукции магнитного поля (магнитным потоком) через ориентированную поверхность S называется интеграл вида

,

где - ориентированный элемент поверхности; dS - площадь элемента поверхности, в пределах которого поле можно считать однородным; - вектор единичной нормали к элементу поверхности dS; Bn = B·cosα - проекция вектора индукции на направление нормали , α - угол между ними (рис. 21). [] = Вб (вебер).

В случае плоской поверхности S, находящейся в однородном магнитном поле индукцией магнитный поток через эту поверхность равен

,

где α - угол между вектором и направлением нормали к данной поверхности. Если плоская поверхность ограничена током I, то направление положительной нормали к этой поверхности связано с направлением тока правилом правой руки (правого винта). Если плоская поверхность током не ограничена, то направление нормали к ней выбирается произвольно и магнитный поток через эту поверхность определяется с точностью до знака.

Теорема Гаусса для вектора индукции магнитного поля (в интегральной форме): поток вектора индукции магнитного поля через произвольную замкнутую поверхность S равен нулю:

.

Сила Лоренца – это сила, действующая на электрический заряд со стороны электромагнитного поля:

,

где – электрическая составляющая силы Лоренца, т.е. сила, действующая на заряд q со стороны электрического поля напряженностью ;

– магнитная составляющая силы Лоренца, т.е. сила, действующая на движущийся со скоростью заряд q со стороны магнитного поля индукцией . Направление вектора определяется по правилу правого винта. Если = 0, то .

Важным свойством магнитной составляющей силы Лоренца является то, что она всегда перпендикулярна вектору скорости заряда (рис. 22). Поэтому работа магнитной составляющей силы Лоренца всегда равна нулю, а значит, в стационарном магнитном поле при любом движении заряда его энергия не изменяется.

Модуль магнитной составляющей силы Лоренца равен

,

где α – угол между векторами и (см. Рис. 22).

Характер движения электрического заряда в однородном магнитном поле зависит от величины угла α между векторами и :

·если (α = 0 или α = 1800), то магнитная составляющая силы Лоренца , и заряд движется равномерно и прямолинейно вдоль силовых линий магнитного поля;

·если (α = 900), то магнитная составляющая силы Лоренца максимальна , и заряд движется равномерно по окружности, плоскость которой перпендикулярна силовым линиям магнитного поля;

·если 0 < α < 900, то заряд равномерно движется по винтовой линии (спирали), ось которой параллельна силовым линиям магнитного поля.

Сила Ампера – сила, с которой магнитное поле действует на помещенный в него проводник с током.

Закон Ампера: сила Ампера , действующая на малый элемент проводника длиной dℓ с током I, равна:

,

где – вектор, по модулю равный длине dℓ элемента проводника с током I и совпадающий с ним по направлению; – вектор магнитной индукции в месте расположения элемента . Направление вектора определяется по правилу правого винта.

Модуль силы Ампера:

,

где α – угол между векторами и .

Сила Ампера , действующая на проводник конечных размеров, вычисляется как:

,

где интегрирование ведется по всем элементам проводника с током I.

Два параллельных бесконечно длинных проводника с токами I1 и I2, находящихся в вакууме на расстоянии b друг от друга, взаимодействуют с силой притяжения в случае одинаково направленных токов или с силой отталкивания в случае противоположно направленных токов. Модуль силы магнитного взаимодействия, приходящейся на единицу длины проводника, f равен

,

где dFA – модуль силы, действующей на элемент длиной dℓ одного проводника со стороны магнитного поля другого проводника.

На плоский контур (произвольной формы) с током I, помещенный в однородное магнитное поле индукцией , действует вращающий момент сил Ампера (рис. 23):

где – магнитный момент этого контура. Направление вектора определяется по правилу правого винта.

Модуль вращающего момента сил равен

,

где φ – угол между векторами и (см. Рис. 23).

Результирующая амперова сила , действующая на контур в однородном магнитном поле, равна нулю:

.

Если контур с током расположен в однородном магнитном поле так, что его плоскость перпендикулярна силовым линиям однородного магнитного поля (), то модуль вращающего момента амперовых сил М = 0. Если контур с током расположен в однородном магнитном поле так, что его плоскость параллельна силовым линиям однородного магнитного поля (), то модуль вращающего момента амперовых сил максимален М = Мmax.

Потенциальная энергия Wp плоского контура с током I в однородном магнитном поле индукцией :

,

где – магнитный момент этого контура.; φ – угол между векторами и (см. рис. 23).

Работа сил Ампера при перемещении плоского контура с постоянным током I в стационарном магнитном поле:

,

где – изменение (приращение) магнитного потока через поверхность, ограниченную этим контуром, от его начального значения до конечного .

| © Кафедра физики БГУИР |