## Работа и энергия

Энергия W – скалярная физическая величина, являющаяся универсальной количественной мерой различных форм движения и взаимодействия материи.

В СИ [W] = 1 Дж.

Механическая энергия W – энергия механического движения и взаимодействия.

Изменение движения и (или) деформация тела в инерциальной системе отсчета происходит в результате силового взаимодействия этого тела с другими телами. При этом, как правило, происходит переход одного вида энергии в другой. Для характеристики процесса перехода энергии из одного вида в другой и его количественного описания вводится скалярная физическая величина – работа силы.

Элементарной работой силы на малом перемещении называется скалярное произведение вектора силы и вектора :

,

где – угол между вектором силы и вектором , – проекция вектора силы на направление элементарного перемещения (Рис. 13).

В СИ [A] = 1 Дж.

Так как на каждом малом участке траектории точки приложения силы

,

где ||– модуль элементарного перемещения, ds – элементарная длина пути, то выражение для элементарной работы можно представит в виде

.

Работа А силы на конечном участке L траектории точки приложения этой силы равна

.

Из геометрического смысла определенного интеграла следует, что работа А силы численно равна площади криволинейной трапеции, образованной графиком функции , осью абсцисс (Os) и прямыми, соответствующими пределам интегрирования (рис. 14).

Мощность P – скалярная физическая величина, характеризующая скорость совершения работы и численно равная отношению элементарной работы к малому промежутку времени , в течение которого эта работа совершается:

,

где – работа силы на малом перемещении , – мгновенная скорость точки приложения силы. В СИ [P] = 1 Вт.

Кинетическая энергия частицы – часть механической энергии, зависящая от скорости движения этой частицы:

,

где m – масса частицы, – модуль ее скорости, p – модуль импульса частицы.

Кинетическая энергия механической системы равна сумме кинетических энергий всех частей этой системы. Так, для системы n частиц

,

где и – масса и модуль скорости соответственно i-й частицы.

Теорема об изменении кинетической энергии: изменение кинетической энергии частицы равно алгебраической сумме работ всех сил, действующих на эту частицу:

.

Изменение кинетической энергии механической системы равно алгебраической сумме работы всех внешних сил, действующих на систему, и работы всех внутренних сил взаимодействия:

.

Консервативной называется сила, работа которой не зависит от формы траектории, по которой движется точка приложения этой силы, а определяется начальным и конечным положением данной точки. Работа консервативной силы при движении частицы по замкнутой траектории (при возвращении частицы в начальное положение) всегда равна нулю.

Консервативными являются силы, действующие на частицы со стороны однородного стационарного поля и центрального стационарного поля. К консервативным силам относятся: сила тяготения (сила тяжести); сила упругости, возникающая при абсолютно упругой деформации; сила, действующая на заряд со стороны электростатического поля.

К неконсервативным силам относятся силы трения скольжения, силы сопротивления, силы, возникающие при неупругой деформации, и т. д.

Поле, работа сил которого не зависит от формы траектории частицы, а определяется ее начальным и конечным положением, называют стационарным потенциальным полем. Поскольку работа сил стационарного потенциального поля, действующих на частицу, определяется ее начальным и конечным положением и не зависит от формы траектории этой частицы, то каждой точке такого поля можно однозначно поставить в соответствие значение некоторой скалярной функции U(x, y, z) так, что разность значений этой функции в точках 1 и 2 будет равна работе сил поля при перемещении частицы из точки 1 в точку 2 (рис. 15):

.

Определенную таким образом функцию U(x, y, z) называют потенциальной энергией частицы. Из данного определения потенциальной энергии U следует, что эта величина определена с точностью до прибавления произвольной постоянной, часто обозначаемой как U0. Обычно выбирается точка (или уровень), которой соответствует U0 = 0, и значения U(x, y, z) во всех других точках отсчитывают по отношению к нему.

Из определения потенциальной энергии следует, что работа консервативных сил, действующих на частицу, равна убыли потенциальной энергии этой частицы:

.

Связь консервативной силы с потенциальной энергией: консервативная сила равна градиенту потенциальной энергии с обратным знаком:

.

Потенциальную энергию U также обозначают .

Потенциальная энергия частицы массой m1 в гравитационном поле неподвижной частицы массой m2 на расстоянии r от нее, если , будет равна

.

Потенциальная энергия упругой деформации сжатия (растяжения) стержня (пружины) жесткостью k:

,

где x – абсолютная деформации стержня (пружины). При этом полагается, что .

Механической энергией частицы, находящейся в стационарном потенциальном поле, называют сумму ее кинетической и потенциальной энергии:

.

Сторонними называют силы, действующие на находящуюся в стационарном потенциальном поле частицу, но не являющиеся силами этого поля.

Закон изменения механической энергии частицы: изменение механической энергии частицы при ее переходе из одного механического состояния в другое равно работе всех сторонних сил, действующих на эту частицу:

.

Закон сохранения механической энергии частицы: если на частицу, находящуюся в стационарном потенциальном поле, не действуют сторонние силы или суммарная работа этих сил в течение некоторого времени равна нулю, то механическая энергия данной частицы остается постоянной в течение этого времени:

.

Потенциальная энергия взаимодействия двух частиц. Пусть две частицы 1 и 2 взаимодействуют между собой только с силами и , направленными вдоль прямой, проходящей через данные частицы, модули которых зависят лишь от расстояния между этими частицами (центральными силами). Тогда независимо от системы отсчета алгебраическая сумма работ A1,2 этой пары сил взаимодействия может быть представлена как убыль некоторой скалярной функции , зависящей при данном характере взаимодействия только от расстояния между частицами:

.

Функцию называют потенциальной энергией взаимодействия двух частиц.

Потенциальная энергия взаимодействия системы n частиц. Если между частицами системы действуют одни лишь центральные силы (зависящие только от расстояния между частицами и направленные вдоль прямой, проходящей через эти частицы), то алгебраическая сумма работ Aвнутр всех этих внутренних сил при переходе системы частиц из одного положения 1 в другое 2 может быть представлена как убыль некоторой скалярной функции , зависящей только от расположения частиц системы относительно друг друга:

.

Эту функцию называют потенциальной энергией взаимодействия системы частиц (собственной потенциальной энергией системы).

Потенциальную энергию взаимодействия системы n частиц можно вычислить по формуле

,

где – потенциальная энергия взаимодействия i-й и j-й частиц системы.

Потенциальная энергия системы n частиц во внешнем стационарном потенциальном поле – это сумма потенциальных энергий всех частиц системы во внешнем стационарном потенциальном поле:

,

где – потенциальная энергия во внешнем стационарном потенциальном поле i-й частицы.

Полная механическая энергия системы n взаимодействующих между собой частиц, находящихся во внешнем стационарном потенциальном поле, равна

,

где – кинетическая энергия системы, где и – масса и скорость соответственно i-й частицы;

– потенциальная энергия взаимодействия частиц системы между собой (собственная потенциальная энергия системы), где – потенциальная энергия взаимодействия i-й и j-й частиц системы;

– потенциальная энергия системы во внешнем стационарном потенциальном поле, где – потенциальная энергия во внешнем стационарном потенциальном поле i-й частицы.

Закон изменения полной механической энергии системы: изменение полной механической энергии системы частиц, находящихся во внешнем стационарном потенциальном поле, равно сумме работы всех внешних сторонних сил и работы внутренних неконсервативных сил:

.

Закон сохранения полной механической энергии системы частиц: полная механическая энергия системы частиц, находящихся во внешнем стационарном потенциальном поле, на которую не действуют внешние сторонние силы и отсутствуют внутренние неконсервативные силы, сохраняется с течением времени:

.

Закон сохранения энергии является одним из фундаментальных принципов физики и связан с таким свойством времени, как однородность.

| © Кафедра физики БГУИР |