## Кинематика

Механическое движение относительно. Это утверждение отражает тот факт, что многие характеристики движения одного и того же тела (траектория, путь, перемещение, скорость и т. д.) могут различаться в зависимости от того, по отношению к какому телу рассматривается данное движение. Поэтому, прежде чем приступать к описанию движения данного тела, необходимо выбрать систему отсчета – совокупность тела отсчета, жестко связанной с ним системы координат и отсчитывающих время часов. Как правило, систему координат выбирают в виде декартовой прямоугольной системы.

Положение частицы в пространстве однозначно можно задать следующими способами:

– координатным, т. е. указанием 3-х координат (x, y, z) (Рис. 1);

– векторным, т. е. с помощью радиуса-вектора , проведенного из начала системы координат в точку нахождения частицы.

Проекции радиуса-вектора частицы на координатные оси являются одноименными координатами этой частицы:

.

Радиус-вектор частицы можно выразить через ее координаты (проекции радиуса-вектора на координатные оси) следующим образом:

.

Модуль радиуса-вектора частицы связан с ее координатами:

.

В СИ [x] = [r] = 1 м.

При движении частицы относительно данной системы отсчета ее координаты и радиус-вектор изменяются со временем. Зависимости координат частицы или ее радиуса-вектора от времени называют кинематическим законом движения:

или

Траектория – воображаемая непрерывная линия, которую описывает движущаяся частица по отношению к данной системе отсчета. По форме траектории механическое движение бывает прямолинейным и криволинейным (частным случаем криволинейного движения является движение по окружности).

Путь s – расстояние, отсчитанное вдоль траектории, между начальным и конечным положением частицы (Рис. 2). В СИ [s] = 1 м.

Изменение положения частицы в данной системе отсчета за некоторый промежуток времени характеризуется вектором перемещения.

Перемещение – это вектор, проведенный из начального 1 положения частицы в ее конечное 2 положение (см. Рис. 2).

Если и – радиусы-векторы начального и конечного положения частицы соответственно, то вектор ее перемещения равен

.

В общем случае модуль вектора перемещения частицы не равен пройденному ею пути за один и тот же промежуток времени.

Скорость – векторная физическая величина, характеризующая направление и быстроту движения и равная производной радиуса-вектора по времени:

.

В СИ [] = 1 м/с.

Вектор скорости (его часто называют мгновенной скоростью) в каждой точке траектории направлен по касательной к ней в сторону движения.

Вектор скорости можно выразить через его проекции , , на координатные оси следующим образом:

.

Проекции вектора скорости частицы на координатные оси равны производным одноименных ее координат по времени:

.

Модуль скорости частицы связан с его проекциями на координатные оси:

.

Путь s, пройденный частицей за промежуток времени от до можно вычислить по формуле

,

где – зависимость модуля скорости частицы от времени.

Ускорение – векторная физическая величина, характеризующая изменение вектора скорости со временем и равная первой производной скорости по времени или второй производной радиуса-вектора по времени:

или .

В СИ [a] = 1 м/с2.

Вектор ускорения можно выразить через его проекции , , на координатные оси следующим образом:

.

Проекции вектора ускорения частицы на координатные оси равны производным одноименных проекций ее скорости по времени:

.

Модуль ускорения связан с его проекциями на координатные оси так:

.

При криволинейном движении вектор скорости изменяется по направлению и может изменяться по модулю. В случае плоской траектории движения вектор ускорения как характеристику изменения скорости можно представить в виде двух составляющих:

,

где – вектор нормального ускорения, – вектор тангенциального ускорения.

Вектор нормального ускорения характеризует изменение направления вектора скорости со временем и направлен по радиусу к центру кривизны траектории (т. О, Рис. 3) в каждой ее точке. Модуль нормального ускорения равен

,

где – модуль скорости, R – радиус кривизны траектории.

Вектор тангенциального ускорения характеризует изменение модуля скорости со временем. Вектор , если модуль скорости со временем увеличивается, и в случае уменьшения модуля скорости. Модуль тангенциального ускорения равен:

.

Модуль ускорения а выражается через нормальное и тангенциальное ускорение следующим образом:

.

Положение частицы на окружности, по которой она движется, однозначно определяется с помощью угла поворота – угла между радиусом-вектором частицы, проведенным из центра окружности, и выбранным направлением (осью Ox) (Рис. 4). В СИ [φ] = 1 рад.

Векторы, направление которых связывается с направлением вращения, называются псевдовекторами, или аксиальными векторами.

Угловое перемещение – псевдовектор, модуль которого равен разности углов поворота частицы конечного и начального положения:

,

а направление связано с направлением вращения частицы правилом правого винта (правилом буравчика, или правилом правой руки) (Рис.5).

Правило правого винта: если рукоятку винта с правой резьбой вращать по направлению вращения частицы, то направление поступательного движения винта совпадет с направлением углового перемещения .

Угловая скорость – псевдовектор, характеризующий быстроту и направление вращения, равный

.

В СИ [ω] = 1 рад/с = 1 с-1.

Если частица равномерно движется по окружности, т. е. ω=const, тогда

,

где – частота вращения, T – период вращения. В СИ [ν] = 1 Гц, [Т] = 1 с.

Угловое ускорение (или ) – псевдовектор, характеризующий изменение угловой скорости со временем и равный

.

В СИ [ε] = 1 рад/с2.

Если со временем модуль угловой скорости увеличивается, то ; если со временем модуль угловой скорости уменьшается, то .

При движении частицы по окружности радиусом R вокруг неподвижной оси Oz линейные и угловые характеристики движения частицы связаны между собой следующими соотношениями:

- связь линейного перемещения с угловым перемещением :

, ,

где – радиус-вектор частицы, – угол между радиусом-вектором и осью вращения Oz (Рис. 6);

- связь линейной скорости c угловой скоростью :

, ;

- связь тангенциальной составляющей вектора линейного ускорения с угловым ускорением :

, ;

- связь нормальной составляющей линейного ускорения с угловой и линейной скоростью:

, .

Закон сложения скоростей (Галилеевский): скорость частицы относительно неподвижной системы отсчета равна векторной сумме скорости частицы относительно подвижной системы отсчета и скорости поступательного движения подвижной системы относительно неподвижной:

.

| © Кафедра физики БГУИР |