| ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ПОЛЯ И ВЕКТОРНОГО АНАЛИЗА Если в каждой точке некоторой области пространства скаляр φ определен как функция независимых переменных (x, y, z), то говорят, что имеется стационарное скалярное поле величины φ = φ(x, y, z). Основные характеристики скалярного поля:

1. Эквипотенциальная поверхность – множество точек поля (поверхность), имеющих одинаковое значение скалярной функции φ.

2. Градиент скалярного поля величины φ = φ(x, y, z) в некоторой точке – вектор, обозначаемый , проекциями которого на оси декартовой прямоугольной системы координат являются частные производные функции φ = φ(x, y, z) по соответствующим переменным:

.

Вектор в некоторой точке скалярного поля φ = φ(x, y, z) направлен в сторону наибольшего возрастания этого поля в данной точке, а модуль градиента равен наибольшей скорости возрастания скалярной функции φ(x, y, z) в данной точке. Векторы в каждой точке перпендикулярны эквипотенциальной поверхности.

Любой вектор в пространстве можно разложить по ортам , , декартовой прямоугольной системы координат:

,

где ax, ay, az – проекции вектора на координатные оси соответственно x, y, z.

Если в каждой точке некоторой области пространства определен вектор как векторная функция независимых переменных (x, y, z), то говорят, что имеется стационарное векторное поле ( – радиус-вектор данной точки поля).

Любое векторное поле можно представить в виде

,

причем предполагается, что проекции , , имеют в области определения непрерывные производные по любому направлению. Это будет всегда подразумеваться и в дальнейшем.

Векторное поле называется однородным, если в каждой его точке вектор одинаков и по модулю и по направлению.

Основные характеристики векторного поля:

1. Силовая линия векторного поля называется воображаемая направленная линия, для которой в каждой ее точке вектор направлен по касательной к данной линии.

Густота силовых линий, т.е. число линий, пронизывающих единичную площадку, перпендикулярную линиям в данной точке поля, прямо пропорциональна модулю вектора в этой точке. Силовые линии поля одного источника нигде не пересекаются.

2. Потоком Φ a векторного поля через произвольную ориентированную поверхность S называется число, равное значению интеграла вида

,

где - ориентированный элемент поверхности; dS - площадь элемента поверхности, в пределах которого векторное поле можно считать однородным; - вектор единичной нормали к элементу поверхности dS; an = a·cosα - проекция вектора на направление нормали , α - угол между ними (Рис. 1).

Поток Φ a – величина алгебраическая, т.е. она зависит не только от конфигурации векторного поля , но и от выбора направления нормали . В случае замкнутой поверхности направление вектора принято выбирать наружу области, охватываемой этой поверхностью, т.е. по внешней нормали к поверхности.

Поток Φ a через произвольную ориентированную поверхность S прямо пропорционален разности числа выходящих Nвыход из этой поверхности и входящих Nвход в нее силовых линий:

.

3. Дивергенцией (расходимостью) векторного поля в данной точке, обозначаемой , называется скалярная величина, в случае декартовой прямоугольной системы координат равная:

,

где ax, ay, az – проекции вектора на координатные оси соответственно x, y, z в этой точке.

Дивергенция вектора в данной точке векторного поля характеризует мощность (интенсивность) находящегося в этой точке точечного источника данного поля. В тех точках векторного поля, где дивергенция отлична от нуля, находятся точечные источники этого поля – истоки и стоки. Эти точки являются центрами пучков расходящихся (истоки) или сходящихся (стоки) силовых линий этого векторного поля.

4. Циркуляцией Γ векторного поля вдоль замкнутой ориентированной кривой L называется число, равное значению интеграла вида:

,

где - ориентированный элемент замкнутого контура L, по направлению совпадающий с направлением обхода контура; aℓ = a·cosα - проекция вектора на направление , α - угол между ними (Рис. 2).

Если векторное поле рассматривать как поле сил, действующих на материальную точку, то циркуляция этого поля вдоль замкнутой кривой L равна работе сил A по перемещению данной материальной точки по замкнутой траектории, совпадающей с этой кривой:

.

5. Ротором (вихрем) векторного поля в данной точке называется вектор, обозначаемый , в случае декартовой прямоугольной системы координат равный:

,

где ax, ay, az – проекции вектора на координатные оси соответственно x, y, z в этой точке.

Если во всех точках векторного поля выполняется условие

·, то данное поле является потенциальным (безвихревым);

·, то данное поле является вихревым.

| © Кафедра физики БГУИР |