## Динамика вращательного движения

Для характеристики внешнего действия на тело, приводящего к изменению его вращательного движения, вводится понятие момента силы.

Моментом силы относительно некоторой точки О называется векторная величина , равная векторному произведению радиуса-вектора , проведенного из точки О в точку приложения силы , и вектора этой силы:

.

В СИ [М]=1 Н×м.

Из данного определения следует:

- вектор перпендикулярен плоскости, содержащей векторы и . Если считать, что на (Рис. 16) векторы и лежат в плоскости xOy, то вектор параллелен оси Oz;

- направление вектора связано с кратчайшим поворотом вектора к вектору правилом правого винта: вращение правого винта по кратчайшему повороту вектора к вектору обуславливает поступательное перемещение винта в направлении вектора . Поскольку направление вектора связано с направлением вращения к , то он является псевдовектором;

- модуль момента силы равен:

,

где a – угол между векторами и .

Если сила , то момент этой силы относительно некоторой точки О равен

,

где – момент каждой силы относительно точки О.

Моментом импульса частицы относительно некоторой точки О называется векторная величина , равная векторному произведению радиуса-вектора , проведенного из точки О в место нахождения этой частицы, и вектора ее импульса :

,

где m и – масса и скорость частицы соответственно.

В СИ [L] = 1 кг×м2/с.

Из данного определения следует:

- вектор перпендикулярен плоскости, содержащей векторы и . Если считать, что на (Рис. 17) векторы и лежат в плоскости xOy, то вектор параллелен оси Oz;

- направление вектора связано с направлением вращения частицы вокруг точки О правилом правого винта: вращение правого винта по направлению вращения частицы обуславливает поступательное перемещение винта в направлении вектора . Вектор является псевдовектором.

- модуль момента импульса равен

,

где a – угол между векторами и .

Дифференцирование по времени момента импульса частицы относительно неподвижной точки О с учетом (по II закону Ньютона) приводит к следующему соотношению:

,

где также учтено, что поскольку (точка О неподвижна) совпадает по направлению с вектором , то векторное произведение коллинеарных векторов равно нулю, т.е. .

Таким образом, производная по времени момента импульса частицы относительно некоторой точки О равна векторной сумме моментов всех сил, действующих на эту частицу, относительно этой же точки:

.

Данное соотношение называется уравнением моментов.

Момент импульса системы n частиц относительно некоторой точки равен

,

где – момент импульса относительно данной точки i-й частицы.

Закон изменения момента импульса механической системы: в произвольной инерциальной системе отсчета производная по времени момента импульса механической системы относительно некоторой точки равна сумме моментов всех внешних сил, действующих на эту систему относительно той же точки:

.

Если система замкнута, тогда изменение ее момента импульса со временем равно нулю: , т. е.

. При этом моменты импульса различных частей системы могут изменяться, но так, что момент импульса всей системы будет неизменным. В этом состоит содержание закона сохранения момента импульса.

Закон сохранения момента импульса: момент импульса замкнутой системы тел относительно любой точки в произвольной инерциальной системе отсчета сохраняется с течением времени:

.

Закон сохранения момента импульса является одним из фундаментальных принципов физики и связан с таким свойством пространства, как изотропность.

Если система незамкнута, но суммарный момент всех внешних сил относительно некоторой неподвижной точки равен нулю, т.е. , то момент импульса этой системы относительно данной точки со временем сохраняется:

.

Если система незамкнута, но сумма проекций моментов всех внешних сил на какую-либо ось (например Oz) равна нулю, т.е. , то проекция момента импульса системы на эту ось сохраняется с течением времени:

.

Моментом силы относительно неподвижной оси Oz называется скалярная величина Mz, равная проекции на эту ось вектора момента силы относительно точки О, принадлежащей данной оси:

.

Моментом импульса относительно неподвижной оси Oz называется скалярная величина Lz, равная проекции на эту ось вектора момента импульса относительно точки О, принадлежащей данной оси:

.

При вращении частицы вокруг неподвижной оси момент импульса частицы относительно оси вращения равен

Lz=mυr,

где m – масса частицы, υ – ее скорость, r – радиус окружности, плоскость которой перпендикулярна оси (Рис. 18). Учитывая, что υ = ω r, где ω – угловая скорость частицы, а также направления векторов и момент импульса частицы относительно некоторой оси равен

Lz = mr2ωz,

где ω z – проекция угловой скорости на данную ось.

Момент импульса относительно некоторой оси системы n частиц, вращающихся вокруг этой оси с одной и той же угловой скоростью, проекция которой на данную ось равна ω z, равен

,

где mi и ri – масса и расстояние до оси вращения соответственно i-й частицы.

Величину I, равную

,

называют моментом инерции системы n частиц относительно этой оси. В СИ [I]=1 кг×м2. Тогда момент импульса относительно некоторой оси системы n частиц, вращающихся вокруг этой оси с одной и той же угловой скоростью, проекция которой на данную ось равна ω z можно представить в виде

.

Моментом инерции твердого тела относительно некоторой оси OO¢ (Рис. 19) называют величину

,

где – масса i-й частицы, одной из тех, на которые на которые мысленно разбито тело (1≤ i ≤ n); ri – расстояние от этой частицы до выбранной оси; Δ Vi – элементарный объем, в котором сосредоточена масса Δ mi; ρ i – плотность вещества в окрестности рассматриваемой точки тела (Δ mi = ρi Δ Vi).

Момент инерции твердого тела относительно неподвижной оси можно вычислить следующим образом:

,

где dm и dV – масса и объем соответственно малого элемента тела, r – расстояние от элемента тела до данной оси, r – плотность вещества в этом элементе (dm=ρ·dV).

Момент инерции твердого тела зависит от распределения его массы относительно выбранной оси, т.е. от массы тела, его геометрической формы и размеров, а также от взаимного расположения оси и данного тела.

Теорема Штейнера: момент инерции I тела относительно произвольной неподвижной оси равен сумме момента инерции IC этого тела относительно оси, параллельной данной и проходящей через центр масс этого тела, и произведения массы m данного тела на квадрат расстояния а между этими осями (Рис. 20):

.

Моменты инерций некоторых однородных тел

Однородное тело | Расположение оси относительно тела | Момент инерции
Тонкое кольцо массой m и радиусом R | Проходит через центр масс кольца перпендикулярно его плоскости |
Полый тонкостенный цилиндр массой m и радиусом R | Совпадает с осью цилиндра |
Сплошной диск массой m и радиусом R | Проходит через центр масс диска перпендикулярно его плоскости |
Сплошной диск массой m и радиусом R | Проходит через центр масс диска и лежит в его плоскости |
Сплошной цилиндр массой m и радиусом R | Совпадает с осью цилиндра |
Прямой тонкий стержень массой m и длиной | Проходит через центр масс стержня перпендикулярно к нему |
Тонкостенная сфера массой m и радиусом R | Проходит через центр масс сферы |
Шар массой m и радиусом R | Проходит через центр масс шара |

При вращении твердого тела вокруг неподвижной оси Oz с угловой скоростью проекция момента импульса этого тела на данную ось равна

,

где I – момент инерции этого тела относительно данной оси, wz – проекция угловой скорости на ось Oz.

При вращении твердого тела, обладающего осевой симметрией, вокруг неподвижной оси симметрии тела или оси, параллельной оси симметрии тела, с угловой скоростью момент импульса этого тела равен

,

где I – момент инерции этого тела относительно данной оси.

Основное уравнение динамики вращательного движения твердого тела вокруг некоторой оси Oz:

,

где I – момент инерции тела относительно данной оси, ω z – проекция угловой скорости тела на эту ось, – суммарный момент всех внешних сил относительно оси Oz.

Элементарная работа силы при вращательном движении относительно неподвижной оси равна

,

где – момент силы , – элементарное угловое перемещение, – проекция вектора момента силы на направление .

Работа А силы при повороте тела на конечный угол относительно неподвижной оси равна

,

где – момент силы , – элементарное угловое перемещение, – проекция вектора момента силы на направление .

Кинетическая энергия тела, вращающегося относительно неподвижной оси с угловой скоростью , равна

,

где I – момент инерции тела относительно данной оси.

Кинетическая энергия тела при плоском движении (движении, при котором все точки тела движутся в параллельных плоскостях, перпендикулярных оси вращения) равна

,

где – масса тела, – скорость движения его центра масс, – момент инерции тела относительно оси, проходящей через его центр масс, – угловая скорость вращения тела вокруг этой оси.

Сопоставление основных величин и уравнений, описывающих

движение материальной точки и вращательное движение

твердого тела вокруг неподвижной оси

Характеристика величины или название уравнения | Движение материальной точки | Вращательное движение твердого тела вокруг неподвижной оси
Характеристика положения | Радиус-вектор | Угол поворота
Характеристика изменения положения | Перемещение | Угловое перемещение
Характеристика быстроты изменения положения со временем | Скорость | Угловая скорость
Характеристика изменения скорости со временем | Ускорение | Угловое ускорение
Характеристика инертных свойств к изменению движения | Масса | Момент инерции
Причина изменения движения | Сила | Момент силы
Количественная мера движения | Импульс | Момент импульса (если ось вращения является осью симметрии)
Уравнение движения |  |
Работа силы |  |
Кинетическая энергия |  |

| © Кафедра физики БГУИР |